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Disponiamo di una bilancia a due piatti che utilizziamo come una stadera: in un piatto manteniamo costante il peso ma variamo la distanza dal fulcro, mentre per l'altro manteniamo fissa la distanza dal fulcro ma variamo il peso, aggiungendo o togliendo finché la bilancia non è in equilibrio.
La bilancia è composta da un'asta cui sono fissati alcuni pioli per sospendere i piatti. In un piatto mettiamo un peso fisso, a forma di cubo; sposteremo questo piatto di piolo in piolo. L'altro piatto rimarrà invece sul quarto piolo ma, per equilibrare la bilancia dopo ogni spostamento, sarà necessario aggiungere o togliere contrappesi.
Le incertezze.
Le incertezze.
Per quanto riguarda le distanze, che misuriamo con il calibro, assumeremo come incertezza 1 mm, dovuto al meccanismo di aggancio del piatto al piolo: presumibilmente il costruttore della leva ha disposto i pioli con precisione molto maggiore, ma non possiamo essere sicuri che i piatti della bilancia insistano esattamente al centro dei pioli.
Per quanto riguarda i pesetti, questi riportano il valore della loro massa stampigliato dal costruttore. L'incertezza è determinata unicamente dalla massa necessaria a sbilanciare la stadera: poiché aggiungendo o togliendo 2 g la stadera perde l'equilibrio, assumeremo in 2 g l'incertezza sulla massa.
Misuriamo anche il peso dei piatti usando un dinamometro, con l'incertezza data dalla sensibilità dello strumento. Per risalire dal peso p (in Newton) alla massa m (in g) dei piatti, usiamo la formula m = 1000/9,81 p.
L'analisi dei dati
L'analisi dei dati
Per verificare l'esistenza di una relazione lineare tra distanza di un piatto e massa sull'altro, realizziamo un grafico cartesiano.
Ci accorgiamo che esistono rette che attraversano tutti i rettangoli corrispondenti alle nostre misure, ma che queste non passano per l'origine.
Dunque non dovremo solo stimare il coefficiente angolare ma anche il termine noto di queste rette.
Per prima cosa determiniamo il coefficiente angolare usando le rette di massima e minima pendenza, cioè la più pendente e la meno pendente tra le rette che passano per tutti i rettangoli.
Nel caso in figura, il coefficiente angolare massimo è 7,44 g/cm, mentre quello minimo è 6,59 g/cm. La semidifferenza di questi valori, arrotondata ad una singola cifra significativa è dunque δμ = 0,4 g/cm. Il valore medio di coefficienti angolari è dunque μ = 7,0 ± 0,4 g/cm.
Ora dobbiamo stabilire il valore, e l'incertezza, del termine noto. Tracciamo quindi una retta che parte dal punto di intersezione delle rette di massima e di minima pendenza con coefficiente angolare μ.
Determiniamo il punto in cui questa retta incontra l'asse delle ordinate, nel grafico qui accanto leggiamo -13,28 g. A questo valore associamo un'incertezza pari a quella di tutte le misure di massa che abbiamo effettuato, cioè 2 g.
In conclusione, con la precisione delle nostre misure, è verificata l'esistenza di una relazione lineare tra massa m del contrappeso e distanza d del peso del tipo
m = μ d + λ,
dove μ = 7,0 ± 0,4 g/cm e λ = -13 ± 2 g
Interpretiamo i dati.
Interpretiamo i dati.
Come dobbiamo interpretare il parametro λ e per quale motivo gli abbiamo associato un'incertezza di soli 2 g? Non sarebbe stato più ragionevole usare come incertezza su λ la semidifferenza tra i termini noti delle rette di massima e minima pendenza ottenendo un'incertezza quasi doppia?
Crediamo che il fattore λ abbia a che fare con la massa del piatto della bilancia, perché quello che conta è la massa complessiva (piatto più pesetti) appesa al piolo. Se così fosse, la legge dovrebbe diventare
massa complessiva = μ d
In altre parole, -λ dovrebbe essere la massa del piatto. Verifichiamo questa interpretazione misurando la massa del piatto attraverso il dinamometro.
L'incertezza sulla massa complessiva è ancora legata al minimo pesetto in grado di sbilanciare la stadera. Siccome l'incertezza sulla massa dei pesetti è trascurabile, possiamo assegnare tutta l'incertezza sulla massa complessiva alla massa del piatto e dunque a λ. Graficamente, stiamo considerando le rette del fascio improprio parallele a quella di coefficiente angolare medio (in verde nel grafico), dette rette di taratura.
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