Ricapitolando

La statica è la parte della fisica che si occupa di studiare

• L'equilibrio, cioè in quali condizioni un corpo fermo rimane fermo

• La stabilità dell'equilibrio, cioè le condizioni per cui un sistema non perde l'equilibrio in presenza di piccole perturbazioni. Un bastone tenuto in equilibrio su un dito è instabile;  lo stesso bastone tenuto dalla sua cima è invece stabile.

Per ragioni di tempo, ci occuperemo solo del primo dei due problemi.

Oggi, la statica è una parte di una teoria più grande che chiamiamo meccanica e che si occupa di descrivere le cause del moto dei corpi.  In altre parole, gli assiomi della meccanica coprono anche la statica e non c'è bisogno di assiomi per la statica.  Gli assiomi che andiamo ad enunciare ci servono quindi provvisoriamente in particolare per definire il concetto di forza.

La forza è una generalizzazione del concetto di peso.  Normalmente, quando lasciamo libero un oggetto, esso si muove a causa del suo peso.  Per tenerlo fermo, per riuscire a metterlo in equilibrio, dobbiamo controbilanciare il peso con un'altra forza.  Ad esempio, per mantenere sospesa una mela, il mio braccio deve esercitare una forza verso l'alto che sia esattamente uguale al peso della mela.

Le forze possono avere varia origine: la gravità, la forza muscolare, la forza elastica, la forza di attrito sono solo alcuni esempi.  

Supponiamo di avere un corpo del quale ci interessa solo la posizione assoluta ma non l'orientamento.  Un modello di un oggetto di questo tipo è il punto materiale: 

Il punto materiale è un oggetto puntiforme che è libero di muoversi nello spazio.  

Quando dalla statica passeremo alla dinamica, il punto materiale sarà dotato di massa, ma in statica non è necessario.  

Primo assioma della statica: un punto materiale è in equilibrio solo se la "somma" di tutte le forze che agiscono su di esso è nulla.  

Noi quest'anno studieremo solo  sistemi unidimensionali, ma nel mondo tridimensionale in cui viviamo, le forze sono dei "vettori", cioè sono caratterizzate da intensità, direzione e verso e si sommano con una regola speciale detta regola del parallelogramma.  Per questo ho messo le virgolette intorno alla parola somma nell'enunciato del primo assioma della statica.  In una dimensione le virgolette possono essere tranquillamente ignorate.  Torneremo sulla somma dei vettori in matematica il prossimo anno.

L'equilibrio è visto in statica come una contrapposizione di forze che si bilanciano.

Abbiamo detto che una mela in questa stanza ha un certo peso.  Se la appoggio sul tavolo, questa rimane in equilibrio.  Ma se la mela è in equilibrio, per il primo assioma della statica deve esserci un'altra forza, uguale per intensità ma opposta per verso, che controbilancia il peso.  Questa forza, detta reazione vincolare, è evidentemente fornita dal tavolo.

La forza viene misurata attraverso le bilance.  

Tra le bilance più interessanti, troviamo

• i dinamometri, cioè le bilance a molla, che confrontano una forza con la forza elastica fornita da una molla opportunamente tarata;

• le bilance a piatti, che confrontano il peso di un oggetto con un peso campione.

Le forze si misurano in Newton (N).  Nel linguaggio comune spesso esprimiamo, in maniera scorretta,  le forze in kg.  Ma il kg in fisica è l'unità di misura della massa, non del peso.  La massa è una proprietà intrinseca di un oggetto, non così il peso.  Se andiamo sulla Luna, il nostro peso varia sensibilmente, la nostra massa invece rimane costante.  Se andiamo sulla stazione spaziale internazionale, il nostro peso diventa addirittura nullo.  Sulla Terra, massa e peso sono proporzionali:  per ottenere il peso di un oggetto di massa m, basta moltiplicare m per la "costante di accelerazione di gravità g", che vale circa 9,81 m/s^2.  La distinzione tra massa e peso diventerà interessante quando parleremo di dinamica; in statica si tratta di una sottigliezza.

La stadera è un particolare modello di bilancia nel quale l'oggetto da pesare è appeso a distanza fissa dal fulcro e viene equilibrato spostando un peso mobile lungo un braccio.

Nel nostro esperimento abbiamo verificato che affinché la stadera stesse in equilibrio,

F_1 = k b_2

cioè che la forza esercitata sul piattello da una parte della bilancia è proporzionale alla distanza alla quale, sull'altro braccio, bisogna appendere il contrappeso.   Siccome la nostra stadera era un oggetto simmetrico, il rapporto k tra F_1 e b_2 doveva essere uguale anche a F_2 / b_1,   cioè

F_1 b_1 = F_2 b_2

Il prodotto tra forza e braccio a sinistra viene equilibrato dal prodotto tra forza e braccio a destra.

Il prodotto tra forza e braccio è interessante in altri contesti:

Supponiamo di voler smontare una ruota della macchina usando una chiave inglese.   Per riuscire dobbiamo applicare molta forza; ma abbiamo una alternativa: usare una chiave inglese molto lunga.  Quello che conta è il prodotto tra la lunghezza della chiave inglese (detta braccio) e la proiezione della forza nella direzione perpendicolare al braccio (questo tipo di prodotto è detto prodotto vettoriale) cui diamo il nome di momento della forza.

M = b × F

Il momento della forza è l'equivalente rotazionale della forza:  se per spostare un'oggetto ci serve una forza maggiore della forza di attrito esercitata dal pavimento, così per far ruotare una delle viti della ruota della macchina serve un momento della forza in grado si superare il momento della forza di attrito tra impanatura e vite.

I corpi sono in genere composti di un gran numero di parti, che esercitano forze l'una sull'altra.  In linea di principio, sarebbe possibile determinare le condizioni di equilibrio andando a verificare atomo per atomo se la somma di tutte le forze sia nulla.  E' chiaro che si tratterebbe di un conto proibitivo, che nessun essere umano riuscirebbe a fare.  In un liquido o in un gas, ci sono poche alternative.  Ma le cose cambiano per i solidi, dove è possibile trovare una seconda condizione che garantisca l'equilibrio dei corpi.

Si definisce 

• corpo rigido come modello di un solido.  Il corpo rigido è un insieme (finito o infinito) di punti materiali le cui posizioni reciproche non possono cambiare.  In altre parole, un corpo rigido può traslare e può ruotare, ma non può deformarsi.

Alla luce del nostro esperimento sulla stadera,  assumiamo come 

secondo assioma della statica:   un corpo rigido è in equilibrio se e solo se, oltre a soddisfare le condizioni del primo assioma,

• la "somma" di tutti i momenti delle forze agenti sul corpo è nulla

Di nuovo, la somma è intesa in senso vettoriale, ma noi, studiando solo il caso unidimensionale, ci disinteressiamo di questo fatto.

Nella formulazione moderna della meccanica, la statica è solo un caso particolare della dinamica, quindi non c'è bisogno di assiomi ad hoc per la statica.  In particolare, assumendo ipotesi opportune sulla natura dei vincoli che bloccano le posizioni reciproche dei punti materiali che compongono il corpo rigido, il secondo assioma della statica si può dimostrare.