La capacità

Il potenziale generato da una carica puntiforme

Abbiamo visto che il potenziale elettrico generato da una singola carica puntiforme q è dato dalla formula:

V(r) = k₀ q / r,

dove r rappresenta la distanza tra la carica e il punto in cui misuriamo il potenziale.

Da questa relazione si nota subito che, a parità di r, il potenziale è direttamente proporzionale alla carica q.

Cosa succede con i conduttori

La stessa relazione si riscontra nei conduttori. Quando aggiungiamo cariche a un conduttore, queste tendono a respingersi reciprocamente e si distribuiscono sulla superficie del conduttore. Se continuiamo ad aggiungere cariche, lo spazio tra di esse si riduce, ma la distribuzione mantiene sempre la stessa geometria di base.

Possiamo immaginare un paragone con un autobus: quando è mezzo pieno, le persone in piedi si dispongono qua e là, con una maggiore densità vicino alle porte. Quando altre persone salgono, lo spazio tra i passeggeri si restringe, ma le zone più affollate rimangono le stesse.

Nel caso del conduttore, l’effetto è simile: aggiungendo cariche, aumenta la densità di carica in ogni punto del conduttore, proporzionalmente alla carica complessiva in eccesso Q. Dato che il potenziale V è la somma dei contributi dei potenziali generati da ogni punto della superficie, che ogni contributo è proporzionale alla carica in questi punti, e che la carica in questi punti è proporzionale alla carica totale in eccesso Q, ne consegue che V è proporzionale alla carica totale Q.

La capacità del conduttore

In particolare, il potenziale del conduttore, ovvero il potenziale che caratterizza l’intero corpo, è proporzionale alla carica totale Q. La costante di proporzionalità tra V e Q è detta capacità del conduttore e si definisce come:

C = Q / V.

Importanza della capacità

Dal punto di vista pratico, siamo interessati a costruire conduttori con una capacità elevata, in modo da accumulare molta carica senza che il potenziale diventi eccessivamente grande. Infatti, differenze di potenziale troppo elevate possono generare campi elettrici così intensi da strappare letteralmente elettroni dal materiale, portando a fenomeni indesiderati. Nell’aria, per esempio, possiamo arrivare a una differenza di potenziale massima di circa 100 V/m; superata questa soglia si verifica il cosiddetto effetto corona, un mini-fulmine che scarica il conduttore.

La capacità di una sfera conduttrice

Il caso più semplice per calcolare la capacità è quello di una sfera conduttrice di raggio R, caricata con una carica totale Q. Grazie al teorema di Gauss, sappiamo che il campo elettrico all’esterno della sfera è lo stesso che si avrebbe se tutta la carica fosse concentrata nel centro della sfera. Di conseguenza, il potenziale elettrico nei punti esterni alla sfera si esprime come:

V(r) = k₀ Q / r,

dove r è la distanza dal centro della sfera. Sulla superficie della sfera, dove r = R, il potenziale diventa:

V = k₀ Q / R.

Confrontando con la definizione di capacità, otteniamo:

C = R / k₀.

Osserviamo quindi che, per aumentare la capacità di una sfera conduttrice, dobbiamo aumentare il suo raggio R. Cosa per niente pratica. Per ottenere grandi capacità, dobbiamo usare strutture più complicate, dette condensatori.

Condensatore piano

Il condensatore piano è una struttura composta da due piastre metalliche (dette armature) poste l'una di fronte all'altra.

Quando viene applicata una differenza di potenziale ai capi del condensatore (ad esempio usando una pila), sulle due armature si deposita una quantità di carica uguale ed opposta. Naturalmente, la carica arriva dal generatore di potenziale (ad esempio la pila).

Definiamo capacità di un condensatore, il rapporto tra il modulo della carica Q che si trova su una armatura e la differenza di potenziale V che abbiamo applicato per produrla:

C = Q / V.

Condensatori in serie e in parallelo

I condensatori si trovano in commercio e la loro capacità dipende dalle loro caratteristiche fisiche.

Se vogliamo ottenere valori di capacità diversi da quelle dei singoli condensatori che abbiamo a disposizione, possiamo collegare tra loro più condensatori.

I collegamenti di base, sono due:

la serie quando un terminale del primo condensatore viene collegato al secondo condensatore e i terminali liberi ad un generatore
il parallelo quando i terminali di ambedue i condensatori vengono collegati insieme ad uno stesso generatore.

Quando colleghiamo due condensatori in serie, e colleghiamo tutto ad un generatore di potenziale, una certa carica Q si forma sulla armatura esterna del primo condensatore. Sappiamo che sull'altra armatura dello stesso condensatore deve accumularsi una carica -Q, perché le armature sono in induzione completa. Ma la seconda armatura è collegata solamente alla prima armatura del secondo condensatore e insieme formano un conduttore isolato, che è neutro e in equilibrio elettrostatico. La carica depositata sulla second armatura del primo condensatore deve necessariamente provenire dalla prima armatura del secondo condensatore, perché la carica non si crea né si distrugge. Ma se sulla prima armatura del secondo condensatore si forma una carica Q, sulla seconda armatura del secondo condensatore si deve depositare una carica -Q. Quindi abbiamo due condensatori, di capacità C1 e C2 , ambedue hanno una stessa carica Q sulle armature , rispettivamente con una differenza di potenziale ai loro capi ΔV1 = V12 - V11 e ΔV2 = V22 - V21 (dove V11 , V12 , V21 e V22 sono rispettivamente i potenziali della prima armatura del primo condensatore, della seconda armatura del primo condensatore, della prima armatura del secondo condensatore e della seconda armatura del secondo condensatore).

Valgono le relazioni

ΔV1 = Q/C1 e

ΔV2 = Q/C2 .

Ma abbiamo detto che la seconda armatura del primo condensatore e la prima armatura del secondo appartengono ad un unico conduttore in equilibrio e quindi i loro potenziali V12 e V21 sono uguali.

Complessivamente, ai capi di tutta la serie di condensatori, abbiamo una differenza di potenziale

ΔV = V11 - V22 = ΔV1 + ΔV2 = Q/C1 + Q/C2 = Q(1/C1 + 1/C2 ).

Possiamo interpretare il rapporto Q/ΔV come la capacità totale Cserie di tutta la struttura. Il suo reciproco è

1/ Cserie = ΔV/Q = (1/C1 + 1/C2 ).

La capacità della serie è minore della capacità dei condensatori che la compongono, perché il suo reciproco è maggiore dei reciproci delle capacità dei due condensatori.

Se invece colleghiamo due condensatori in parallelo, collegando la prima armatura del primo con la prima armatura del secondo e contemporaneamente la seconda armatura del primo alla seconda armatura del secondo per poi collegare il tutto ad un generatore di potenziale, sui due condensatori si depositeranno cariche diverse Q1 e Q2 . Di nuovo, le armature collegate tra loro fanno parte di un unico conduttore in equilibrio, quindi (con la stessa notazione di prima)

V11 = V21 e

V12 = V22

Sottraendo membro a membro, ΔV1 = ΔV2 = ΔV

Ma allora

Q1 = ΔV C1 e

Q2 = ΔV C2 .

La carica complessiva Q che si è accumulata su tutta la struttura è

Q = Q1 + Q2 = ΔV C1 + ΔV C2 =ΔV (C1 + C2 )

Chiamiamo il rapporto

Cparallelo = Q/ΔV = C1 + C2

tra la carica totale accumulata su tutta la struttura e la differenza di potenziale che abbiamo applicato, capacità totale del parallelo.

La capacità di un parallelo è la somma delle capacità dei condensatori che lo compongono.

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