L'equazione degli specchi

Qual è la posizione del punto B'? Dette PB e PB'' le proiezioni dei punti B e B'' sull'asse ottico, notiamo che i triangoli B-PB-O'e B'-PB'-O' sono due triangoli rettangoli simili perché hanno un angolo acuto opposto al vertice.

Anche i triangoli B-PB-O e B'-PB'-O  sono simili, perché hanno l'angolo acuto uguale per la legge della riflessione.

Queste similitudini assicurano che 

|B PB|/|B' PB'|=|O PB|/|O PB'|

e che

|B PB|/|B' PB'|=|O' PB|/|O' PB'|.

Detta s=|O PB| la distanza tra O e la proiezione di B sull'asse ottico, s'=|O PB'| la distanza tra O e la Proiezione di B'  e  r=|O O'| il raggio della sfera, otteniamo

s/s' = (r-s)/(s'-r)

cioè

s(s'-r)=s'(r-s)

da cui

2 s s' = r (s+s')

Dividendo per 2 r s s' si ottiene l'equazione dello specchio sferico

2/r = 1/s + 1/s'

che permette di capire a che distanza si forma l'immagine conoscendo la distanza della sorgente e il raggio della sfera. 

Di solito si preferisce scrivere questa equazione in termini della lunghezza focale f = |O F|, che è definita come la distanza tra il fuoco e lo specchio ed equivale alla metà del raggio.

L'equazione diventa allora

1/f = 1/s + 1/s'

e viene usata non solo per gli specchi sferici ma per tutti i sistemi ottici che possono essere approssimati con delle sfere.

Ingrandimento

Il rapporto s'/s è (per la prima delle due equazioni di similitudine scritte sopra) uguale al rapporto tra la distanza B' PB' e la distanza B PB e ha quindi il significato di ingrandimento dovuto allo specchio.  

Infatti, lo specchio ingrandisce di m=s'/s volte se   B' PB' =m * B PB.

L'ingrandimento è maggiore di 1 (cioè l'immagine appare più grande della sorgente) se s' > s, cioè se

1/s' < 1/s

usando l'equazione dello specchio sferico otteniamo

1/f - 1/s < 1/s

cioè

1/f < 2/s

e quindi 

s < 2f.

Quindi l'mmagine è ingrandita se la sorgente si trova tra il fuoco e il centro dello specchio (ricorda che r = 2f), altrimenti viene rimpicciolita.  Controlla questa conclusione con il foglio geogebra qui sotto, dopo aver portato lo slider a al valore 0,2. 

Istruzioni:

Puoi muovere il punto B per spostare la sorgente;

lo slider  a=1/r  permette di variare la curvatura dello specchio;

lo slider  h permette di variare l'apertura del fascio di luce;

la casella di controllo "immagine dale centro" permette di visualizzare la situazione quando l'osservatore visualizza il riflesso che proviene dalla zona centrale dello specchio;

la casella di controllo "immagine parassiale" permette di visualizzare i raggi usati nella costruzione del punto immagine parassiale;

la casella di controllo "triangoli simili" permette di visualizzare i triangoli usati per derivare l'equazione dello specchio sferico;

per avvicinare o allontanare l'osservatore, su può trascinare il punto rosa davanti all'occhio.

Controlla anche se le conclusioni qui sopra si applicano anche alle sorgenti vicine, quando l'immagine è virtuale e non reale.

• • vale l'equazione dello specchio sferico?

  • l'immagine è dritta o capovolta?

Qui sotto trovi allegati alcuni file Geogebra che ti permettono di usare il modello "ottica geometrica" per analizzare vari specchi curvi.  La sequenza con cui li abbiamo visti in classe è:

1. Specchio piano:  introduciamo il concetto di immagine

2. Specchio ellittico:  esistono solo due specchi curvi che producono l'immagine perfetta di un punto sorgente, ma persino in quel caso, questa proprietà vale solo per i fuochi; in tutti gli altri casi c'è sfocamento.

3. Specchio sferico:  capiamo perché in certi casi l'immagine è rovesciata e in altri no;  guardando due raggi particolari ricaviamo l'equazione focale.

4. Specchio parabolico:  studiamo come l'immagine venga distorta.