Una macchina termica è un dispositivo in grado di trasformare calore in lavoro o viceversa. Se vogliamo che questa produzione di lavoro non si arresti, dobbiamo far lavorare la macchina termica in un ciclo: dopo aver prodotto il lavoro, la macchina deve tornare al punto di partenza in modo da poter ricominciare, in un ciclo senza fine, almeno finché viene fornito calore dall'esterno. Quando parleremo di macchine termiche, ci riferiremo sempre a macchine termiche cicliche.
Particolarmente illuminante dal punto di vista teorico è lo studio delle macchine termiche a gas perfetto, perché conosciamo le leggi che regolano pressione volume, temperatura ed energia interna.
Nell'esperimento che andiamo a fare, dell'aria è contenuta in un cilindro chiuso da un pistone collegato ad una camera per lo scambio di calore. Quest'ultima può essere immersa in un bagno termico freddo o in un bagno termico caldo.
Usando un gas perfetto, possiamo calcolare tutte le energie scambiate:
Il lavoro in una trasformazione isobara si calcola immediatamente come prodotto tra pressione e variazione di volume. Abbiamo imparato ad associarlo all'area del rettangolo sotteso alla trasformazione nel piano pV (piano di Clapeyron).
Per un gas perfetto, l'energia interna dipende dalla sola temperatura, la quale è proporzionale al prodotto pV.
Calcolati il lavoro e la variazione di energia interna, attraverso il primo principio, possiamo risalire alla quantità di calore scambiata.
RENDIMENTO
Le macchine termiche sono state sviluppate per sostituire il lavoro umano o animale nelle fabbriche. Da subito si è posto il problema di stabilire l'efficienza di queste macchine.
Una delle nozioni più comuni per valutare la bontà di un investimento è il concetto di rendimento, definito come rapporto tra quello che voglio ottenere e quello che devo pagare. Nel nostro caso, vogliamo ottenere del lavoro L e dobbiamo pagare con del calore Q che dobbiamo fornire per alimentare la macchina termica. Definiamo quindi il rendimento energetico come
η = L/Q
E' chiaro che l'energia non si crea e che quindi il lavoro prodotto non può essere maggiore del calore fornito; dunque il rendimento deve essere minore di 1. Vedremo però che secondo principio della termodinamica pone limiti molto più stringenti al rendimento di una macchina termica. Proprio lo studio del rendimento delle macchine termiche e dei legami di questo con la reversibilità delle trasformazioni termodinamiche, ha permesso un salto concettuale nella comprensione della termodinamica, portando in particolare al concetto di entropia che sarà il nostro punto di arrivo.
Nell'esperimento che andiamo ad eseguire, vedremo in azione una semplice macchina termica e ne valuteremo il rendimento.
Utilizziamo le macchine termiche PASCO. L'aria è contenuta in un cilindro di alluminio collegato ad una macchina termica. Fissiamo con la vite il pistone della macchina termica a metà altezza. Colleghiamo i tubicini come in figura alla macchina termica e al sensore di pressione tappando bene il cilindro di alluminio. Ricordiamo di tenere chiusa la vite quando non stiamo prendendo le misure perché la tenuta della macchina termica non è perfetta.
Prepariamo due bacinelle con acqua molto fredda (ghiaccio fondente) e molto calda (65°C, presa dallo scaldabagno). Nelle bacinelle inseriamo due becher semipieni per evitare di scottarci quando inseriremo il cilindro di alluminio nel bagno termico.
Macchina termica con sensore di posizione.
Particolare di cilindro e pistone.
Bagno termico con becher.
Cilindro di alluminio da immergere nel bagno termico.
Alloggio per la zavorra. Serrare la vite prima di operare. Non togliere la plastica.
Scatola di connessione.
Colleghiamo
un sensore di pressione.
un sensore di posizione (consigliati quelli blu) per risalire alla misura del volume.
un termometro oppure un sensore di temperatura per stabilire la temperatura.
Scarichiamo il foglio di lavoro.
Apriamo il software PASCO Capstone.
A lattina aperta, portiamo il pistone completamente in basso, azzeriamo il sensore di posizione e invertiamone il segno.
Prepariamo un grafico di pressione in funzione della posizione.
Se usiamo il sensore di temperatura, realizziamo un secondo grafico della temperatura in funzione del tempo (o della posizione).
Portiamo il pistone a metà altezza, serriamo la vite di blocco e tappiamo il cilindro di alluminio.
La posizione del pistone è in relazione lineare con il volume. Per calcolare il rendimento della macchina termica, ci servirà risalire al valore del Volume del gas, contenuto in parte nel cilindro di alluminio, in parte nella macchina termica e in parte nei tubicini.
Facciamo l'assunzione che l'aria contenuta nel cilindro e nella macchina termica sia un gas perfetto biatomico, quindi regolato dalla legge
pV = nR T , ovvero V = nRT/p.
Inoltre sappiamo che la variazione di volume ΔV è uguale alla variazione di posizione Δx del pistone moltiplicata per la superficie del pistone S:
ΔV=SΔx
STIMA DEL NUMERO DI MOLI n
1) immergiamo il cilindro di alluminio nel bagno termico freddo, misurando temperatura TF, pressione pF e posizione xF
2) ripetiamo nel bagno termico caldo, misurando temperatura TC, pressione pC e posizione xC
Otteniamo
ΔV =S (xC-xF)
e, dall'equazione di stato
ΔV = nR (TC/pC - TF/pF)
Mettendo a sistema, si ricava
nR = S(xC-xF)/(TC/pC - TF/pF)
L'incertezza relativa su questo valore si può stimare come la somma tra l'incertezza relativa sulla posizione (circa l'1%), l'incertezza relativa sulla variazione di temperatura (circa 5%), l'incertezza sulla variazione di pressione (trascurabile) e l'incertezza sulla sezione del cilindro (trascurabile).
CALCOLO INDIRETTO DEL VOLUME
Nota nR, possiamo risalire al volume totale dell'aria nella macchina termica dalle misure di temperatura e pressione
V = nR T/p
Definiamo V'=VA - S xA = nR TA/pA - S xA, in modo da poter risalire al volume attraverso la relazione
V = V' + S x
L'incertezza relativa sul volume è la somma dell'incertezza relativa su nR (circa il 6%), dell'incertezza relativa sulla temperatura (circa l'1%) e l'incertezza relativa sulla pressione (trascurabile).
Considerando le possibili perdite di gas durante l'esperimento, stimiamo l'incertezza relativa sul volume al 10%. Notiamo che questa incertezza è enormemente superiore all'incertezza relativa sulla variazione di volume, che otteniamo dalla misura di x e che si stima intorno all'1%.
NB: in caso di non perfetta tenuta della macchina termica, conviene iniziare il ciclo dal punto C invece che dal punto A.
A) Inseriamo il peso di ottone nello scomparto, immergiamo il cilindro di alluminio nel bagno termico freddo e allentiamo la vite di blocco del pistone. Denominiamo lo stato raggiunto come stato A.
Registriamo la temperatura TA e avviamo la presa dati da Capstone.
B) Spostiamo il cilindro di alluminio dal bagno termico freddo al bagno termico caldo. Scaldandosi, l'aria si espande (trasformazione isobara). Aspettiamo che l'espansione si fermi (punto B). Durante l'espansione, viene sollevato il cilindro, compiendo un lavoro LAB, aumentando la sua energia interna di una quantità ΔUAB e assorbendo una quantità di calore QAB
Registriamo la temperatura TB
C) Serriamo la vite di blocco del pistone e togliamo il peso di ottone dallo scomparto, senza passare con le mani davanti al sensore di posizione. Allentando la vite di blocco, vediamo una ulteriore espansione: la macchina termica sta compiendo un secondo lavoro LBC, diminuendo in maniera non apprezzabile entro le incertezze sperimentali la sua energia interna di ΔUBC e cedendo un calore QBC.
Registriamo la temperatura TC
D) Spostiamo il cilindro di alluminio dal bagno termico caldo al bagno termico freddo. Scaldandosi, l'aria si contrae e il cilindro si abbassa (trasformazione isobara). Aspettiamo fino a quando la contrazione cessa. Il lavoro LCD è negativo (serve a chiudere il ciclo, riportando la macchina termica nello stato originale A); l'energia interna diminuisce di una quantità ΔUCD e viene ceduta una quantità di calore QCD.
Registriamo la temperatura TD
A) Serriamo la vite di blocco e reinseriamo il peso di ottone, facendo attenzione a non passare con le mani davanti al sensore di posizione; allentiamo la vite di blocco. Il sistema dovrebbe essere tornato al punto A. In caso contrario, probabilmente non abbiamo aspettato l'equilibrio nel passaggio da C a D oppure la temperatura del bagno termico freddo è cambiata oppure abbiamo avuto una perdita di gas; nel primo caso, utilizziamo come punto A il punto di arrivo che abbiamo raggiunto, negli altri casi, ripetiamo l'esperimento.
Notiamo una contrazione e quindi un lavoro negativo LDA. La variazione di energia interna ΔUDA dovrebbe essere al disotto delle incertezze sperimentali. Il sistema assorbe una quantità di calore QDA.
Registriamo nuovamente la temperatura TA.
Completato il ciclo, possiamo arrestare la presa dati.
LAVORO COMPLESSIVO
Il lavoro generato dalla macchina termica in un ciclo è dato dall'area della regione racchiusa dal ciclo nel piano di Clapeyron pV. Nel nostro caso, invece che con il piano pV vogliamo lavorare con il piano px. E' chiaro però che il volume può essere scritto come V = V' + Sx, dove V' è il volume del cilindro di alluminio più quello dei tubicini. Ne consegue che una variazione di volume ΔV è uguale al prodotto della superficie del pistone S moltiplicata per la variazione di posizione Δx. Ne consegue che basta moltiplicare per S l'area di una figura nel piano px per ottenere l'area della figura corrispondente nel piano pV.
Possiamo approssimare la curva descritta dal sistema lungo il ciclo con un trapezio ABCD (con una incertezza relativa intorno al 3%):
L = S(pA - pC)(xB - xA + xC -xD)/2
con una incertezza relativa data dalla somma dell'incertezza relativa sulla variazione di posizione (circa l'1%), della pressione (trascurabile) e della superficie (trascurabile). L'incertezza relativa finale che associamo alla misura del lavoro è la somma di quella dovuta all'approssimazione geometrica con il trapezio e quella associata alla formula, cioè il 4%.
RENDIMENTO
Per procedere al calcolo del rendimento, dobbiamo in qualche modo capire quanta energia assorbe il sistema sotto forma di calore nelle varie transizioni. Una misura diretta di calorimetria (basata sulla variazione di temperatura del bagno termico durante una delle quattro transizioni) non è fattibile, perché le variazioni di temperatura sono minime e perché la temperatura del bagno termico non è abbastanza omogenea. Possiamo però stimare le variazioni di energia interna e tramite il primo principio risalire al calore scambiato.
Approssimiamo l'aria contenuta nella macchina termica con un gas perfetto biatomico (N2 al 78%, O2 al 21%).
Il calore specifico molare a volume costante è c*V = 5/2 R e l'energia interna è
U = n c*V T = 5/2 nR T
Come abbiamo detto, la misura della temperatura comporta un'incertezza relativa troppo elevata, dovuta alla disomogeneità nel bagno termico. Meglio usare l'equazione di stato e calcolare l'energia interna come
U = 5/2 pV
TRATTO AB (espansione isobara)
Il lavoro si calcola come area del rettangolo sotteso al tratto AB nel piano di Clapeyron:
LAB = pA (VB-VA) = S pA (xB-xA) > 0
L'incertezza relativa è pari all'incertezza relativa sulla variazione di posizione (circa l'1%) sommata all'incertezza relativa sulla pressione (trascurabile) e sulla sezione del pistone (trascurabile).
La variazione di energia interna è
ΔUAB = 5/2 pA (VB - VA) = 5/2 S pA (xB-xA) > 0
con una incertezza relativa dell'1%
Per il primo principio, la quantità di calore assorbita è
QAB = LAB + ΔUAB = 7/2 S pA (xB-xA) > 0
con una incertezza relativa dell'1%.
TRATTO BC (espansione)
Il lavoro si calcola come area del trapezio sotteso al tratto BC nel piano di Clapeyron:
LBC = (pB+pC) (VC-VB)/2 = S (pB+pC) (xC-xB)/2 > 0
L'incertezza relativa è pari all'incertezza sulla variazione di posizione (circa l'1%) sommata all'incertezza sulla pressione (trascurabile) e sulla sezione del pistone (trascurabile).
La variazione di energia interna è
ΔUBC = 5/2 (pC VC - pB VB)
= 5/2 (pC(VB+ΔVBC) - pBVB) = 5/2(pC ΔVBC - (pB-pC) VB) = 5/2 S(pC ΔxBC - (pB-pC) xB) < 0
Per il primo principio, la quantità di calore assorbita è
QBC = LBC + ΔUBC > 0
Si tratta di valori relativamente piccoli, perché il pistone si sposta di poco e molto rapidamente, senza dare tempo al sistema di scambiare calore con il bagno termico.
TRATTO CD (contrazione isobara)
Si possono fare le stesse considerazioni fatte nel caso AB. Questa volta il lavoro è negativo, come la variazione di energia interna. Il calore viene ceduto al bagno termico freddo.
LCD = pC (VD-VC) = -S pC (xC-xD) < 0
ΔUCD = 5/2 pC (VD-VC) = -5/2 S pC (xC-xD) < 0
QCD = LCD + ΔUCD = -7/2 S pC (xC-xD) < 0
TRATTO DA (contrazione)
Tutto è analogo al tratto BC, ma questa volta il lavoro e la variazione di energia interna sono negativi e il calore è assorbito.
LDA = (pD+pA) (VA-VD)/2 = -S (pD+pA) (xD-xA)/2 <0
ΔUDA = 5/2 (pA VA - pD VD)
QDA = LDA + ΔUDA
RENDIMENTO
Il rendimento energetico è definito come il rapporto tra l'energia prodotta, cioè il lavoro complessivo durante l'intero ciclo, e l'energia consumata, ossia la quantità di calore assorbita.
Per la nostra macchina termica, il rendimento è piuttosto basso: assorbe molto calore per fare poco lavoro.
Gli ingegneri e i fisici a cavallo delle due rivoluzioni industriali, si posero il problema di massimizzare il rendimento delle macchine termiche che progettavano. Come vedremo a breve, con una certa sorpresa, scoprirono che esiste un limite teorico al rendimento delle macchine termiche. Ad esempio, per una macchina termica ottimale che operi tra le temperature dei nostri bagni termici, il rendimento è circa il 20%. In altre parole, anche nel caso migliore, l'80% dell'energia viene sprecata e solo il 20% viene trasformata in lavoro.
Le macchine termiche reali difficilmente si avvicinano al rendimento di una macchina ottimale. Per questo motivo, non procederemo per via sperimentale ma studiando una macchina termica ideale, in particolare, la "macchina di Carnot".