Ricapitolando

La dinamica è la parte della meccanica che si occupa di descrivere il movimento a partire dalle sue cause.   Dopo secoli di tentativi infruttuosi, la dinamica nasce nel 1687 con la pubblicazione della 'Philosophiae Naturalis Principia Mathematica' da parte di Isaac Newton.   Newton basò la dinamica su 3 princìpi, che collegano il moto degli oggetti alle forze.  Nel corso del 1700, si sviluppò, accanto al linguaggio delle forze, un linguaggio alternativo, basato sul concetto di energia.  In maniera antistorica, noi abbiamo direttamente enunciato un principio di conservazione dell'energia meccanica, dal quale dedurremo le prime due leggi di Newton.

Abbiamo notato che diversi sistemi fisici hanno un comportamento ciclico e tornano nello stato iniziale ad intervalli di tempo regolari.  Questa osservazione ci ha spinto a cercare una quantità che conservi l'informazione sul punto a cui tornare lungo tutta l'evoluzione del sistema.  Alla quantità conservata abbiamo dato il nome di Energia.  Le leggi di conservazione sono uno degli strumenti più potenti che abbiamo per descrivere il comportamento di un sistema fisico.

Abbiamo studiato un oscillatore verticale, costituito da un pesetto sospeso attraverso una molla.  Il software di analisi dati ci ha fornito sia il grafico della posizione al variare del tempo, sia quello della velocità al variare del tempo.  Questi due grafici non sono tuttavia molto utili, perché la quantità che cerchiamo non deve dipendere dal tempo.  Siamo quindi ricorsi ad un terzo grafico (detto "ritratto di fase") in cui viene rappresentata la velocità al variare della posizione.

E' emersa la figura di una ellisse, che dopo un riscalamento è diventata una circonferenza.  La caratteristica comune a tutti i punti di una circonferenza è la distanza dal centro, quindi il raggio di questa circonferenza è una quantità conservata.  Anche il raggio al quadrato è una quantità conservata, con proprietà matematiche migliori del raggio, in quanto è la somma di una parte puramente cinetica (che dipende solo dalla velocità) e una parte potenziale che dipende dalla posizione.   La quantità che chiamiamo energia è proporzionale al raggio al quadrato nel ritratto di fase.  I fisici hanno scelto la costante di proporzionalità in modo che l'energia fosse proporzionale alla massa;  la definizione ufficiale è 

E = ½mv² + ½k(x-xc)² 

dove m rappresenta la massa del pesetto, v la sua velocità, x la sua posizione e xc la sua posizione di equilibrio.  k è una costante, detta "costante elastica della molla";  più è grande k, più serve forza per allungare la molla,  se la molla è debolissima e la sua presenza può essere trascurata, k=0.

L'energia è una quantità che si conserva durante l'evoluzione del sistema, in particolare è sempre uguale al suo valore iniziale.  Dunque quando lanciamo l'esperimento, sollevando il pesetto per poi lasciarlo cadere, stiamo scegliendo l'energia che il sistema avrà successivamente.

L'energia è dunque la somma di una parte cinetica e una parte potenziale.

Si suole indicare con una kappa maiuscola l'energia cinetica 

K = ½mv² 

Vedremo che questa espressione è universale:  non dipende dal sistema in esame.  L'energia cinetica di una particella (più precisamente, di un punto materiale) di massa m sarà sempre ½mv² .

La parte che dipende dal sistema in esame, in particolare dalle forze che agiscono sulla particella è quella potenziale, che si indica solitamente con una v maiuscola.  Nel caso dell'oscillatore verticale, 

V = ½k(x-xc)² .

xc  è l'ascissa del centro di oscillazione.  Per misurarla possiamo cercare di mettere l'oscillatore in equilibrio.  Per definizione di equilibrio, la sua velocità sarà sempre nulla.  La circonferenza avrà dunque il diametro verticale di lunghezza nulla. Ma siccome i diametri sono tutti uguali, anche (xmax- xc)²  (dove xmax è l'altezza massima raggiunta dal pesetto) dovrà essere nullo. In altre parole, il punto in cui il pesetto è in equilibrio è proprio xc.

In statica abbiamo imparato che un corpo è in equilibrio quando la somma delle forze che agiscono su di esso è nulla.  Nel nostro caso, agiscono la forza peso mg e la forza della molla;  l'equilibrio si ha quando la forza esercitata verso l'alto dalla molla eguaglia la forza peso.  Siccome più allunghiamo la molla, più forza questa esercità, possiamo concludere che il punto di equilibrio xc dipende dalla massa m del pesetto, dall'accelerazione di gravità g e dalla forza della molla, determinata dalla costante k.