Ad ogni misura corrisponde un'incertezza, dovuta
Alla sensibilità dello strumento (il metro del medico ha le tacche ogni cm, quindi l'errore sulla nostra altezza è almeno 1 cm).
All'imprecisione della nostra misura (anche se il calibro può misurare i decimi di millimetro, noi lo mettiamo un po' storto).
Rappresentiamo misure ed incertezze in linguaggio grafico, per poi confrontare i dati sperimentali con una previsione teorica, nei nostri casi, una legge lineare.
Indichiamo l'incertezza su una certa quantità a, con δa. Non confondere questa notazione con la moltiplicazione di δ e a: δa è il nome di una singola variabile.
Le incertezze (almeno quelle che non hanno origine statistica) hanno sempre una sola cifra significativa: sono corrette 500, 3, 0.002, perché hanno una sola cifra diversa da zero, ossia possono essere scritte in notazione scientifica come un numero di una sola cifra moltiplicato per una potenza di 10; nel nostro caso, 500=5×102, 3=3×100 e 0,002=2×10-3 . Non sono accettabili 502, 3.1 o 1.002 perché hanno più di una cifra significativa, cioè la loro rappresentazione in notazione scientifica richiede più cifre.
Quando scriviamo il dato con la sua incertezza, dobbiamo arrotondare il dato alla cifra significativa dell'incertezza: se la misura di a è 1.2345 ma l'incertezza δa vale 0.002, dobbiamo arrotondare a a tre sole cifre dopo la virgola e scrivere
a±δa = 1.235 ± 0.002.
La spiegazione delle ultime due regole è che quando affermiamo che δa è uguale a 0.002 stiamo dicendo che non siamo certi del valore della terza cifra dopo la virgola. Ma se non conosciamo la terza cifra dopo la virgola, a maggior ragione non conosciamo le cifre successive.
Per arrotondare il valore di a, dobbiamo scegliere il numero con 3 cifre dopo la virgola che più si avvicina al valore misurato; se, come nel nostro caso, il valore misurato termina per 5, la regola convenzionale è di arrotondare al numero superiore.
Quando cerchiamo di verificare l'esistenza di una relazione tra due variabili, uno degli strumenti più efficaci che abbiamo è rappresentare le misure in un grafico.
Pensiamo al nostro foglio di carta come ad una porzione di un piano geometrico, esattamente come una cartina geografica rappresenta una porzione della superficie terrestre.
In basso e a sinistra, riportiamo le scale graduate con i valori dell'una e dell'altra variabile, come fossero latitudine e longitudine della nostra cartina. Naturalmente, non è necessario che le nostre scale partano da zero, l'unica cosa fondamentale è che siano lineari, ossia che a distanze uguali corrispondano intervalli di valori della stessa grandezza. Ad esempio, se sul bordo inferiore abbiamo riportato il tempo e al primo cm corrisponde 1 min, anche al secondo cm deve corrispondere un intervallo di 1 min, e così per qualsiasi intervallo orizzontale lungo 1 cm.
La variabile rappresentata in orizzontale viene chiamata ascissa, quella rappresentata in verticale ordinata.
Per rappresentare una coppia di valori, ad es x=3 min, y=6 cm, tracciamo una linea verticale passante per x=3, e una orizzontale passante per y=6. Il punto in cui si incontrano queste due linee rappresenta la coppia (3;6).
Ma la nostra tabella, oltre al dato (3;6), ci da anche l'incertezza su questo dato. Infatti, ad ogni dato sperimentale è sempre associata un'incertezza. La tabella indicherà quindi qualcosa come
tempo= 3,0 ± 0,5 min; lunghezza= 6,0 ± 0,1 cm.
Possiamo dare facilmente una rappresentazione grafica di questa incertezza: la tabella dice che il tempo è compreso tra 2,5 e 3,5 min, mentre la distanza è compresa tra 5,9 e 6,1 cm.
Disegniamo quindi, con lo stesso procedimento di prima, i punti (2,5;6) e (3,5; 6). Uniamo questi due punti con un segmento. Se non abbiamo fatto errori, il segmento è orizzontale con al centro il punto (3;6). In maniera analoga, i punti (3;5,9) e (3; 6,1) formeranno un segmento verticale, ancora centrato su (3;6).
Ora trasformiamo la croce in un rettangolo. Il rettangolo rappresenta il dato con l'incertezza, perché tutti punti all'interno del nostro intervallo di incertezza cadono all'interno del rettangolo. Prova ad esempio con (2,4; 6,05).