Storia Romanzata del principio di Fermat

L'inglese Harriot nel 1602 e poi  l'olandese Snell nel 1621 riscoprirono la legge della rifrazione, che da allora venne chiamata legge di Snell.  Tranne dai francesi, perché nel 1637 Cartesio la scoprì ancora una volta. Fu Cartesio il primo ad enunciarla in termini della funzione seno.

L'ottica era forse il principale interesse fisico di Cartesio, che scrisse intorno al 1630 un traité de la lumiere. Intimorito dall'accoglienza riservata agli studi di Galileo dalla Chiesa ebbe tuttavia paura di pubblicarlo.  L'opera venne comunque diffusa negli ambienti scientifici di mezza Europa e fu oggetto di ampie discussioni.

Nel 1637, Cartesio scrisse ancora di ottica.  La prefazione alla trilogia Diottrica-Geometria-Meteore era nientemeno che il discorso sul metodo.  Purtroppo il rigore metodologico di Cartesio riguardava solo le questioni filosofiche e non si avvicinava nemmeno al rigore scientifico del metodo sperimentale di Galileo. 

Cartesio non si fermò alla sola descrizione geometrica del comportamento dei raggi luminosi, ma propose un modello che ne spiegava il comportamento.  Era il periodo storico in cui veniva messo a punto il linguaggio della cinematica, e in cui gli scienziati ponevano le basi per risolvere il problema della dinamica, ossia scoprire le cause del moto.

Il modello di Cartesio per l'ottica, sostenuto successivamente da Newton, era ispirato al comportamento dei proiettili. Era cioè un modello di tipo emissionistico, secondo il quale le particelle di luce emesse dalla sorgente colpivano l'occhio dell'osservatore muovendosi lungo il raggio luminoso a velocità finita. 

La riflessione della luce da parte di uno specchio segue la stessa legge di una palla che rimbalza sul bordo di un biliardo.  Cartesio pensò quindi di utilizzare questa analogia per spiegare la legge della rifrazione. Cartesio scomponeva la velocità della particella di luce nelle componenti parallela e perpendicolare alla superficie di separazione tra i due mezzi e supponeva che, nel passare dall'aria all'acqua, la componente parallela di questa velocità rimanesse invariata mentre la componente perpendicolare veniva aumentata.

Fu questa assunzione il primo degli argomenti della polemica tra Cartesio e Fermat: A Fermat non sembrava per nulla ragionevole che il proiettile entrando in acqua potesse venire accelerato invece che frenato.

Cartesio da Leida e Fermat da Tolosa iniziarono una polemica epistolare, senza scriversi direttamente ma coinvolgendo invece padre Marsenne a Parigi.  Uno dei più influenti filosofi della storia contro "il principe" dei matematici dilettanti.  Né l'uno né l'altro utilizzava il metodo sperimentale di Galilei e la loro discussione era basata su analogie, preconcetti e concezioni filosofiche.  Cartesio pensava all'analogia con il suono, mentre Fermat pensava realmente ai proiettili.

Anche Fermat propose un modello emissionistico, nel quale, invece di aumentare la componente perpendicolare della velocità, diminuiscono ambedue le componenti.

Fermat mostrò come la legge di Snell potesse essere dedotta a partire da un "principio di minimo":

La luce, nel viaggiare da un punto A ad un punto B sceglie il cammino che impiega meno tempo.

Questa deduzione si basava sull'assunto che la luce fosse più veloce nell'aria che nell'acqua.

Talmente feroce fu la critica di Cartesio e dei suoi molti seguaci, che Fermat si affrettò a precisare che le sue erano solo speculazioni matematiche e che non pretendeva con esse di descrivere la Natura.

Due erano gli argomenti dei cartesiani:

• • la difesa, contro ogni evidenza, dell'ipotesi cartesiana che la velocità della luce fosse maggiore nei mezzi più densi.

  • la critica teleologica: non avendo la luce una sua volontà,  non può scegliere tra i diversi cammini.

Aveva ragione Fermat.  Affermare che la luce sceglie il cammino più breve equivale semplicemente al dire che la luce si muove in linea retta a velocità costante.  Perché il segmento è la linea più corta tra due punti.  E non è che il segmento scelga di seguire la linea più corta:  semplicemente, è un fatto geometrico che il cammino più corto tra due diversi punti coincida con il segmento.

Forse comprendendo il significato matematico dei principi di minimo o forse solo per evitare attacchi, Fermat si guardò bene dal dare interpretazioni finalistiche del principio del minimo cammino ottico.  Ma lo scalpore suscitato dal principio di Fermat e i molti tentativi di farne un principio universale, valido non solo nell'ottica ma in tutte le scienze naturali, dipese proprio da queste.

Dunque proprio l'aspetto teleologico tanto avversato dai cartesiani, attrasse Leibniz e i suoi seguaci.

Leibniz stesso ipotizzò nel 1707 che per la meccanica Newtoniana potesse valere un principio analogo a quello di Fermat.  Non era però il tempo a dover essere minimizzato. Secondo Leibniz, la traiettoria di un corpo doveva invece minimizzare l'energia cinetica.  

Maupertuis, nel 1744, sostenne che non è il tempo, né l'energia che viene minimizzato dalle traiettorie dei corpi. Piuttosto, individuò nell' azione (una quantità che corrisponde all'area sottesa dalla traiettoria nel piano energia-tempo) la quantità da rendere minima.  

Maupertuis fu duramente attaccato, non sulla validità del principio di minima azione, ma sulla sua paternità. König, appoggiato da Voltaire, lo accusò di plagio, mostrando la copia di una lettera in cui Leibniz giungeva alle stesse conclusioni.  Finì che König fù accusato di falso e Federico II in persona cacciò lui e Voltaire da Berlino.  Voltaire si vendicò facendo di Maupertuis il bersaglio del suo racconto satirico "Il Candido".

Eulero, forse il più importante matematico dell'epoca, prese le difese Maupertuis, ma avrebbe potuto, a buon diritto rivendicare egli stesso la paternità del principio di minima azione.  Già nel 1744, Eulero aveva infatti perfezionato gli aspetti matematici del principio di Maupertuis (interpretando l'azione come area nel piano posizione-velocità) e trasformato un vago principio filosofico in una precisa affermazione matematica.  

Fu Hamilton nel 1827 ad arrivare alla formulazione del principio di minima azione che oggi è l'assioma base della meccanica.  Hamilton generalizzò la definizione di azione e dimostrò come ottenere dal nuovo principio di "azione stazionaria" le equazioni di Eulero-Lagrange che avevano generalizzato l'equazione di Newton.

Quello di Fermat fu dunque il primo dei molti principi di minimo che vengono utilizzati come assiomi nella fisica moderna.

I primi anni del '900 videro la crisi della meccanica Newtoniana e la nascita della meccanica quantistica.  Poteva anche questa teoria essere formulata in termini di un principio di minimo?  Nel 1948 fu Feynman a riuscire nell'impresa, inventando il suo "integrale sui cammini".

Feynman era, oltre che uno scienziato di primissima grandezza, un grande divulgatore scientifico.  Per spiegare l'idea dietro al principio di Fermat, propose un'efficace analogia: