Riassuntone
degli argomenti trattati in primo liceo
degli argomenti trattati in primo liceo
Ad ogni misura è associata una incertezza.
Quando affermiamo che una certa quantità vale x con l'incertezza assoluta δx , diciamo che mettiamo la mano sul fuoco che il valore di questa quantità è compreso tra x-δx e x+δx . L'incertezza assoluta ha le stesse dimensioni fisiche della quantità a cui si riferisce. In linea generale, l'incertezza assoluta ha una sola cifra significativa.
Quando affermiamo che una certa quantità vale x con l'incertezza relativa δx/x , diciamo che mettiamo la mano sul fuoco che il valore di questa quantità è compreso tra x(1-δx/x) e x(1+δx/x). L'incertezza relativa è un numero puro, spesso espresso come percentuale.
L'incertezza assoluta sulla somma o sulla differenza di due quantità è la somma delle incertezze assolute delle due quantità: se c = a ± b, allora δc = δa + δb.
L'incertezza relativa sul prodotto o sul rapporto di due quantità è la somma delle incertezze relative delle due quantità: se c = a · b, oppure se c = a/b, allora δc /c = δa /a + δb /b.
Uno dei nostri strumenti preferiti per verificare che una data congettura descriva bene la situazione sperimentale, in particolare quando la congettura corrisponde ad una legge lineare, è la rappresentazione cartesiana.
In un diagramma cartesiano, rappresentiamo i dati completi di incertezza di misura come rettangoli: ad esempio, supponendo di avere misurato per la quantità X il valore x con l'incertezza δx e per la quantità Y il valore y con l'incertezza δy, disegniamo un rettangolo centrato nel punto di coordinate (x;y) con un lato orizzontale lungo 2δx e un lato verticale lungo 2δy.
Per verificare una legge lineare, cioè una legge del tipo y = mx + q, che lega le quantità x e y (con m e q opportune costanti che magari vogliamo stimare) che lega le quantità x e y, controlleremo se esiste una retta che attraversi tutti i rettangoli sperimentali.
In caso negativo, possiamo scartare la congettura
In caso affermativo, tracciamo la più pendente e la meno pendente tra tutte le rette che attraversano tutti i rettangoli, che chiamiamo rispettivamente retta di massima pendenza e retta di minima pendenza. Stimiamo il coefficiente angolare m come la media tra il coefficiente angolare delle rette di massima e minima pendenza; stimiamo l'incertezza sul coefficiente angolare come semidifferenza tra il coefficiente angolare della retta di massima pendenza e quello della retta di minima pendenza. In rari casi, abbiamo stimato il termine noto q attraverso i termini noti delle cosiddette due rette di taratura, con termine noto rispettivamente massimo e minimo tra le rette passanti per tutti i rettangoli sperimentali con coefficiente angolare m; stimiamo q come la media tra i termini noti di queste due rette e l'incertezza su q come semidifferenza tra questi.
La statica si occupa dell'equilibrio dei corpi (e della stabilità di questo equilibrio). I concetti centrali di questo capitolo sono
La Forza (ciò che può equilibrare il peso)
Il momento della forza rispetto ad un dato punto (prodotto tra il braccio e la proiezione ortogonale della forza sulla direzione perpendicolare al braccio)
Le leggi da ricordare
Se un punto materiale o un corpo rigido è in equilibrio, la somma (vettoriale) di tutte le forze che agiscono su di esso è nulla.
Se un corpo rigido è in equilibrio, la somma di tutti i momenti delle forze rispetto ad uno stesso punto qualunque è nulla.
La cinematica si occupa della descrizione del moto.
I concetti centrali sono
Velocità = pendenza nel diagramma spazio- tempo (diagramma orario)
Accelerazione = pendenza nel diagramma velocità tempo
Particolarmente interessanti sono
Il moto uniforme, corrispondente ad una retta nel diagramma orario, ossia descritto dalla legge oraria s = s0 + vt , dove s è la posizione al tempo t, s0 è la posizione iniziale e v la velocità, che rimane costante per tutto il moto. Se il moto è uniforme, allora v = Δs/Δt (la velocità istantanea è uguale alla velocità media, definita come rapporto tra la variazione di posizione e la durata dell'intervallo di tempo in cui questa variazione avviene).
Il moto uniformemente accelerato, corrispondente ad una retta nel diagramma velocità tempo e ad una parabola nel diagramma orario, ossia descritto dalle equazioni v = v0 + at e s=s0 + v0t + ½at2 , dove s, s0 e t hanno il significato precedente, dove v è la velocità al tempo t e a l'accelerazione, che rimane costante per tutto il moto. Se il moto è uniformemente accelerato, allora a = Δv/Δt (l'accelerazione istantanea è uguale all'accelerazione media, definita come rapporto tra la variazione di velocità e la durata dell'intervallo di tempo in cui questa variazione avviene).
La dinamica si occupa delle cause del moto. Il nostro percorso tra i concetti e le leggi è stato:
Abbiamo notato che alcuni sistemi fisici (pendolo, oscillatore verticale, palla ideale che rimbalza) "ricordano" lo stato da cui sono partiti e tornano periodicamente a questo stato.
Abbiamo concluso che questo "ricordo" deve corrispondere ad una qualche quantità che si conserva durante il moto.
Studiando l'oscillatore verticale, abbiamo scoperto che la quantità E = ½mv2 + ½kh2 (dove v è la velocità, h l'altezza dell'oscillatore rispetto alla posizione di equilibrio, m una costante che chiamiamo massa e k una costante che chiamiamo costante elastica della molla), cui abbiamo dato il nome di Energia meccanica totale si conserva al variare tempo.
Al termine K = ½mv2, abbiamo dato il nome di energia cinetica.
Al termine U = ½kh2 , abbiamo dato il nome di energia potenziale (dell'oscillatore verticale)
Dal confronto con il pendolo e con il moto di un grave, abbiamo dedotto che l'energia meccanica totale può essere definita come somma di una energia cinetica K = ½mv2, che è la stessa per tutti i sistemi e di una energia potenziale U che invece varia da sistema a sistema a seconda delle forze in campo.
In particolare, nel caso di un grave di massa m, soggetto quindi ad una forza F=-mg, abbiamo trovato U=mgh. Se consideriamo il diagramma Energia-posizione (U-h), vediamo che l'energia potenziale è rappresentata da una retta di coefficiente angolare mg=-F.
Questo risultato si generalizza permettendo di concludere che la forza corrisponde all'opposto della pendenza nel diagramma U-h. Per piccoli spostamenti, F = -ΔU/Δh.
Ma allora ΔU=-FΔh , cioè la variazione di energia potenziale, dovuta ad uno spostamento così piccolo che la forza non cambia, è uguale all'opposto del prodotto della forza per lo spostamento. A questo prodotto diamo il nome di lavoro fatto dalla forza.
Il lavoro fatto dall'esterno contro la forza è invece definito come forza per spostamento: L = FΔh.
Abbiamo dimostrato che se si conserva l'energia, F = m a (seconda legge di Newton)
Nel caso particolare di forza totale nulla F = 0, troviamo a=0; ma se l'accelerazione è nulla, la velocità non cambia. Questa è la legge d'inerzia o prima legge di Newton : ogni corpo persevera nel suo stato di moto a meno che non sia costretto a mutare quello stato da forze impresse.
Attraverso l'analisi di un caso particolare (contatto tra due corpi rigidi), abbiamo notato che se un corpo esercita una forza F su un altro corpo (azione), il secondo corpo esercita una forza -F sul primo (reazione). Questo enunciato, che abbiamo verificato sperimentalmente attraverso lo studio degli urti, costituisce il principio di azione e reazione o terza legge di Newton.
La verifica sperimentale diretta della terza legge pone difficoltà pratiche, così abbiamo preferito verificare una sua conseguenza diretta: la conservazione della quantità di moto durante un urto. A tal fine, abbiamo introdotto il concetto di baricentro come media pesata delle posizioni in un sistema di punti materiali.
Usando il terzo principio, abbiamo concluso che il baricentro di un sistema si muove come se su di esso agisse la somma di tutte le forze esterne, mentre le forze interne (quelle che uno dei punti materiali esercita su un altro) non contribuiscono al moto del baricentro.
In particolare, se la somma delle forze esterne è nulla (come nel caso dell'urto su rotaia che abbiamo studiato), il baricentro si muove per inerzia di moto uniforme. Chiamiamo un sistema di punti materiali di questo tipo sistema isolato.
Se il moto del baricentro è uniforme, si conserva la quantità di moto totale del sistema, cioè la somma delle quantità di moto p = m v di tutti i punti materiali che lo compongono.