Ricapitolando

La cinematica è la parte della meccanica che si occupa di descrivere il moto dei corpi.  I concetti chiave sono quelli di velocità e di accelerazione.  

La descrizione della velocità in linguaggio algebrico-analitico è dovuta a Leibnitz e Newton, alla fine del 1600.  Studieremo questo linguaggio tra due anni.  Per adesso, ci baseremo su un linguaggio geometrico, più intuitivo, anche se un po' meno potente.

Supponiamo di avere un punto materiale che occupa la posizione s al tempo t.  Possiamo rappresentare la coppia (t;s) in un piano cartesiano, detto diagramma orario.  Al variare del tempo t, varierà anche la posizione s, descrivendo una curva nel diagramma orario. Nel linguaggio delle funzioni, diciamo che s è una "funzione" di t e la indichiamo con il simbolo s(t) (che si legge "s di t" e non va confuso con la moltiplicazione di s per t).  

Siccome ad ogni istante di tempo deve corrispondere un solo valore della posizione, la curva che rappresenta la funzione s(t) nel diagramma orario deve intersecare le rette verticali in un solo punto:  all'aumentare del tempo, la curva non può tornare indietro.

Cerchiamo ora di dare un significato alla nozione intuitiva di velocità:  cosa intendiamo quando diciamo che un'automobile procede a 100 km/h?  

• Dopo 0 ore, l'auto non è ancora partita e quindi ha percorso 0 km.  Disegniamo (0;0) nel diagramma orario.

• Dopo 1 ora, l'auto ha percorso 100 km.  Disegniamo (1;100) nel diagramma orario.

• Dopo 2 ore, l'auto ha percorso 200 km.  Disegniamo (2;200) nel diagramma orario.

Potremmo continuare, e considerare anche dove si trova l'auto dopo mezz'ora o dopo un quarto d'ora.  E' evidente che i punti che rappresentano la posizione al variare del tempo sono allineati su una retta.  Il coefficiente angolare di questa retta è uguale alla velocità.

In generale, anche se nostra automobile non viaggia a velocità costante, possiamo definire

velocità = pendenza (nel diagramma orario)

intendendo per "pendenza" di una curva in un punto il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto.

La velocità si calcola con la formula per il coefficiente angolare che abbiamo studiato lo scorso anno:  variazione di  ordinata diviso variazione di ascissa;  siccome l'ordinata è una posizione e si misura in m e l'ascissa è un tempo e si misura in s, nel SI l'unità di misura della velocità è il m/s (metro al secondo).

Chiamiamo uniforme un moto a velocità costante.

Siccome il concetto di moto uniforme viene usato per definire la velocità, dobbiamo però dare una definizione di moto uniforme che non usi la parola velocità, in modo da non cadere in ragionamenti circolari.  

Definiamo uniforme un moto in cui la distanza percorsa in un determinato intervallo di tempo è sempre la stessa, indipendentemente dal momento in cui inizia il conteggio del tempo.  In altre parole, nel caso dell'esempio precedente, l'automobile percorre sempre 100 km in un'ora, indipendentemente se si tratta della prima ora, della seconda ora o di qualsiasi altro momento.

Nel diagramma orario, il moto uniforme è rappresentato da una retta.  Ricordiamo che l'equazione di una retta nel piano cartesiano è espressa dalla forma y = mx + q. Nel nostro caso, sostituiamo x con il tempo t e y con la posizione s. All'inizio del moto, al tempo t = x = 0, la posizione s coincide con il termine noto q, che rappresenta  quindi la posizione iniziale e indichiamo con s₀. Il coefficiente angolare m, che abbiamo già identificato con la velocità v, rappresenta la pendenza della retta nel diagramma orario.

Quindi, possiamo esprimere l'equazione del moto uniforme  di velocità v e posizione iniziale s₀ con la seguente relazione: 

s(t) = v t + s₀ 

che esprime la posizione s come funzione del tempo t. 

Il diagramma orario ci permette di definire la velocità con cui cambia la posizione (sulle ordinate) al variare del tempo (sulle ascisse) in termini di pendenza della curva 

s = s(t).

Possiamo fare esattamente la stessa cosa usando un diagramma in cui la quantità che cambia nel tempo è qualcos'altro di diverso dalla posizione.  Ad esempio, potremmo voler studiare nel tempo l'ammontare di un conto in banca, e studiare la velocità con cui entrano o escono i soldi;  potremmo voler rappresentare la popolazione di una data città, e voler studiare la velocità con cui questa cresce o decresce.  In tutti i casi, la velocità è rappresentata dalla pendenza nel diagramma cartesiano in cui il tempo è sulle ascisse e la quantità di cui vogliamo studiare la velocità di variazione è sulle ordinate.

Se consideriamo il diagramma in cui rappresentiamo la velocità di un corpo sull'asse delle ordinate al variare del tempo sull'asse delle ascisse, la pendenza della curva rappresenterà la velocità con cui la velocità stessa cambia nel tempo, a cui diamo il nome di accelerazione.

Poiché l'accelerazione è definita come il rapporto tra una velocità e un intervallo di tempo, nel Sistema Internazionale di unità di misura (SI), l'accelerazione viene misurata in metri al secondo al secondo, che viene abbreviato come metro al secondo quadro (m/s²).   Questa unità esprime la variazione di velocità di un oggetto per ogni secondo di tempo trascorso.

Con considerazioni del tutto analoghe a quelle fatte per il moto uniforme, possiamo dedurre che il grafico di un moto con accelerazione costante, chiamato "moto uniformemente accelerato", nel diagramma tempo-velocità è una retta e può essere rappresentato dall'equazione:

v(t) = a t + v₀,

dove "a" rappresenta l'accelerazione costante e "v₀" è la velocità iniziale del corpo.

Più complicato dimostrare che la posizione al tempo t è data dall' "equazione oraria del moto uniformemente accelerato"

s(t) = ½ a t² + v₀ t + s₀,

dove "s₀" rappresenta la posizione iniziale del corpo.

Per convincerci, ricordiamo che abbiamo dimostrato che che la retta tangente a una parabola di equazione y = α x² + βy + γ, nel suo punto di ascissa "x", ha un coefficiente angolare "m" dato da m = 2 α x + β. Considerando che "m" corrisponde alla velocità "v" e "x" corrisponde al tempo "t", otteniamo l'equazione v = 2 α t + β, che rappresenta l'equazione di una retta.

Confrontando questa equazione con l'espressione che abbiamo per la velocità in funzione del tempo, possiamo dedurre che a = 2 α e v₀ = β. Successivamente, sostituendo le variabili "y" con "s", "x" con "t", "α" con "½ a" e "β" con "v₀" nell'equazione della parabola, otteniamo l'equazione oraria del moto uniformemente accelerato.

Il moto di un corpo soggetto alla sola forza peso è un moto uniformemente accelerato.

Chiamando -g l'accelerazione di gravità (sulla Terra paria a circa -9,81 m/s²) e h la quota, il moto di un grave è quindi descritto dall'equazione oraria

h(t) = - ½ g t² + v₀ t + h₀,