Узагальнені функції та їх застосування (Мурач О. О.)

Мета курсу:

оволодіння основними поняттями і методами теорії узагальнених функцій як однієї, так і кількох змінних, ознайомлення із застосуванням апарату узагальнених функцій при дослідженні диференціальних рівнянь і проблем сучасної математичної фізики.

Приблизний перелік тем курсу:

Тема 1. Узагальнені функції та операції над ними

Простори основних і узагальнених функцій та збіжність у цих просторах, регулярні і нерегулярні узагальнені функції, приклади узагальнених функцій, дельта-функція Дірака, порядок та носій узагальненої функції, добуток нескінченно диференційовної і узагальненої функцій, похідна узагальненої функції, прямий добуток та згортка узагальнених функцій, властивості операцій над узагальненими функціями.

Тема 2. Перетворення Фур’є і простори Соболєва

Простори швидко спадаючих нескінченно диференційовних функцій і повільно зростаючих узагальнених функцій, пряме і обернене перетворення Фур’є класичних і узагальнених функцій, приклади обчислення перетворення Фур’є, властивості перетворення Фур’є похідної, добутку та згортки функцій, гільбертові простори Соболєва, теорема вкладення Соболєва і теорема про сліди функцій з просторів Соболєва.

Тема 3. Застосування узагальнених функцій до диференціальних рівнянь

Поняття фундаментального розв’язку диференціального рівняння, теорема Еренпрайса-Мальгранжа про існування фундаментального розв’язку, застосування перетворення Фур’є до побудови розв’язків звичайних диференціальних рівнянь і рівнянь математичної фізики.

Література:

• 1. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. Курс лекций. – Киев: Вища школа, 1990. – 600 с.

  2. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. – Москва: Наука, 1979. – 320 с.

  3. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. – Москва: Физматгиз, 1958. – 440 с.

  4. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – Москва: Физматгиз, 1958. – 308 с.

  5. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями к технике. – Москва: Мир, 1978. – 518 с.

  6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – Москва: Наука, 1976. – 543 с.

  7. Городецький В. В., Нагнибіда М. І. Узагальнені функції. Теореми і задачі. Ч. 1. – Київ: Ін-т математики НАН України, 1996. – 205 с.

  8. Городецький В. В., Нагнибіда М. І. Узагальнені функції. Теореми і задачі. Ч. 2. – Київ: Ін-т математики НАН України, 1996. – 206 с.

Передумови навчання: університетські курси математичного аналізу, функціонального аналізу, теорії міри та інтеграла за мірою, диференціальних рівнянь і математичної фізики.