Мета курсу:
Ознайомити студентів з фундаментальними поняттями, ідеями й методами теорії зображень груп і алгебр, навчити їх виеористовувати ці ідеї та методи у теоретичних і прикладних дослідженнях.
Приблизний перелік тем курсу:
Основні поняття теорії груп.
Лінійні відображення та їх канонічні форми.
Означення і приклади зображень груп і алгебр. Незвідні й нерозкладні зображення. Лема Шура.
Зображення скінченних груп. Теорема Машке та її наслідки. Співвідношення між розмірностями незвідних зображень і порядком групи.
Теореми ортогональності й повноти для матричних елементів і характерів. Кількість незвідних зображень. Група характерів комутативної групи, теорема двоїстості.
Зображення симетричної групи.
Зображення компактних груп. Міра Хаара. Скінченновимірність незвідних зображень. Теореми ортогональності. Теорема Петера-Вейля. Зображення унітарної групи.
Застосування теорії зображень до теорії груп та теорії функцій.
Алгебри Лі та їх зображення. Зображення алгебри sl(2). Універсальна обгортуюча алгебра, її властивості, теорема Пуанкаре-Біркгофа-Вітта.
Нільпотентні та розв'язні алгебри Лі. Теореми Лі та Енгеля про їх зображення. Теорема Адо про існування точних зображень.
Зображення алгебри Кронекера (пучки матриць).
Зображення сагайдаків. Функтори віддзеркалення, функтор Кокстера. Група Вейля і корені форми Тітса, їх застосування до обчислення зображень. Теорема Ґабріеля про сагайдаки скінченного типу.
Література:
1. Винберг Э.Б. Курс алгебры. МЦМНО, 2011.
2. Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. Конечномерные алгебры. К.: Вища школа, 1980.
3. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.:Наука, 1978 (і наступні видання).
4. Наймарк М.А. Теория представлений групп. М.:Наука, 1970.
5. Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. М.:Мир, 1970.
6. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.:Мир, 1969.
7. Golan J.S. The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know, Springer, 2007.
8. Jones H.F. Groups, Representations and Physics. Institute of Physics Publishing, London, 1998.
9. Wickless W.J. A First Graduate Course in Abstract Algebra, Marcel Decker, 2004.
Передумови навчання:
Загальноуніверситетські курси алгебри, топології та функціонального аналізу.