Мета курсу:
поглиблене вивчення теорії аналітичних функцій комплексної змінної, застосування інтегральних зображень аналітичних функцій до розв’язання крайових задач теорії аналітичних функцій комплексної змінної, ознайомлення з основними застосуваннями методів комплексного аналізу в математичній фізиці та механіці, розвиток логічного та аналітичного мислення студентів
Приблизний перелік тем курсу:
Рівняння Лапласа. Зв’язок з аналітичними функціями комплексної змінної.
Узагальнення інтегральної теореми Коші та інтегральної формули Коші.
Інтеграл типу Коші. Похідні інтегралу типу Коші.
Сингулярний інтеграл Коші, достатні умови існування. Достатні умови існування граничних значень інтеграла типу Коші. Формули Сохоцького. Оцінка Зігмунда модуля неперервності сингулярного інтегралу Коші.
Задача Діріхле і задача Шварца.
Формули Гільберта для обернення сингулярного інтеграла Коші.
Основна крайова задача теорії аналітичних функцій – крайова задача Рімана, її застосування.
Сингулярні інтегральні рівняння з ядром Коші, зв’язок з крайовою задачею Рімана. Теореми Нетера
Література:
Основна:
1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М: Наука.1987.- 688 с.
2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – Москва: Наука, 1977. – 640 с.
3. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – Москва: Наука, 1968. – 511 с.
Додаткова:
4. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1976. – 320 с.
5. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве.-- М.: Наука, 1971.-- 104 с.
6. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. -- М.: Наука, 1986. -- 239 с.
7. Салаев В.В. Прямые и обратные оценки для особого интеграла Коши по замкнутой кривой // Мат. заметки. -- 1976. -- 19, № 3. -- C. 365 -- 380.
8. Бабаев А.А., Салаев В.В. Краевые задачи и сингулярные уравнения на спрямляемом контуре // Мат. заметки. -- 1982. -- 31, № 4. -- C.~571~-- 580.
9. Сейфуллаев Р.К. Краевая задача Римана на негладкой разомкнутой кривой // Мат. сб. -- 1980. -- 112, № 2. -- C. 147 -- 161.
10. Плакса С.А. Сингулярные интегральные операторы в пространствах осциллирующих функций на спрямляемой кривой // Укр. мат. журн. -- 2003. -- 53, № 9. -- C. 1206 -- 1217.
Передумови навчання:
Студент має знати базові курси теорії функцій дійсної та комплексної змінної, математичного та функціонального аналізу.