Мета курсу: ознайомити слухачів з основними математичними поняттями теорії ігор, нерухомих точок та економічних моделей. Дати уявлення стосовно крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь й можливістю моделювати відповідні економічні задачі. Навчити методам розв'язання відповідних задач.
Теорія ігор та економічної рівноваги. Економічні моделі.
1 частина курсу
Приблизний перелік тем курсу:
Гільбертів простір (означення, приклади).
Нерухома точка відображення. Періодичні (періода m) точки відображення.
Теорема (принцип стискаючих відображень).
Порядок Шарковського та теорема Шарковського.
Некооперативні ігри. Приклад (битва статей).
Максимін і домінування (означення).
Слабко и сильно домінуюча стратегія. Еквівалентність.
Сідлова точка відображення (означення). Нормальна форма гри.
Антагоністична гра.
Лема про єдність сідловок точки (з доведенням).
Матрична антагоністична гра (означення). Сідлова точка.
Виграш, гарантований результат гри, нижня ціна гри (означення).
Оптимальна стратегія першого гравця.
Верхнє значення гри.
Мінімаксна стратегія другого гравця.
Критерій існування сідловок точки (з доведенням).
Лема про мінімаксну й максимінну точки.
Ігри двох людей (означення).
Рівновага за Нешем.
Біматрична гра. Рівновага за Нешем в біматричній грі.
Оптимальна за Парето точка.
Теорема Брауера про нерухому точку.
Баєсівська гра.
Теорема про існування рівноваги (опуклість).
Модель дуополії.
Процедура намацування Курно.
Ієрархічна гра. Оцінка ефективності стратегій.
Загальна крайова задача (нелінійна). Постановка, як шукається розв’язок.
Загальний розв’язок породжуючої крайової задачі.
Необхідна умова існування розв’язку нелінійної крайової задачі.
Достатня умова розв’язку нелінійної крайової задачі.
2 частина курсу
Приблизний перелік тем курсу:
Макроекономіка, основні проблеми які вона вивчає.
Статична модель (витрати, випуск) Лєонтьєва.
Псевдообернена за Муром-Пенроузом матриця.
Необхідна та достатня умова існування розв’язку рівняння Dx = y.
Квазі- або псевдорозв’язок Dx = y.
Означення: стійка праворуч матриця, усереднена матриця.
Теорема про представлення оберненої матриці до I – U + U0.
Наслідки про псевдо обернену матрицю до I – U.
Означення: стохастична матриця
Доведення факту D = I – P, P – стохастична, то ||P|| = 1.
Системи масового обслуговування з 4 ймов. станами як функції часу + приклади крайових умов (випис. систему + як вона записується у матричному вигляді).
Теорема про представлення розв’язків (з доведенням).
Теорема про представлення розв’язків лінійної крайової задачі.
Ергодичні теореми. Теорема фон Неймана.
Різницеві операторні рівняння.
Точка стійкості праворуч (означення). Резольвентна множина.
Приклад оператора з незамкненою множиною значень.
Теорема про представлення розв’язків різницевого операторного рівняння (з доведенням, 2 частини).
Крайова задача для рівняння Ріккаті. Представлення розв’язків породжуючої лінійної крайової задачі для рівняння Ріккаті.
Необхідна умова існування розв’язку крайової задачі для рівняння Ріккаті.
Література:
фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.Наука, 1970. 708 стр.
Бойчук А.А., Журавлев В.Ф., Самойленко А.М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы краевые задачи. Киев: Інститут математики, 1995, 320 стр.
Перестюк М.О., Пономаренко О.І., Бурим В.М. Сучасний економічний аналіз. 2 тома (К. Вища школа 2004 - 261 стор., 206 стор)
Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. Москва, 2005. 274 стор.
О.В.Капустян, А.В.Сукретна. Методи нелінійного аналізу в математичній економіці. Навч. посібник, 2011 р., 213 стор.
О.Ф.Волошин, С.О.Мащенко. Моделі та методи прийняття рішень. Навч. посібник, 2010, Київський університет., 336 стор.
Передумови навчання: основни математичного аналізу, лінійної алгебри.