Мета курсу:
вивчення основних властивостей моногенних функцій гіперкомплексної змінної, оволодіння ідеями їх застосувань в математичній фізиці та ефективними конструктивними методами побудови розв’язків рівнянь математичної фізики. розвиток логічного та аналітичного мислення студентів
Приблизний перелік тем курсу:
Комутативні і некомутативні банахові алгебри.
Різні типи диференційовності функцій в банахових алгебрах. Похідна Лорха і похідна Гато функції, заданої в комутативній банаховій алгебрі.
Головні продовження аналітичних функцій комплексної змінної в комутативну банахову алгебру над полем комплексних чисел.
Комутативні гармонічні алгебри, асоційовані з тривимірним рівнянням Лапласа. Бігармонічна алгебра.
Моногенні функцій в комутативних алгебрах. Аналоги умов Коші – Рімана. Конструктивний опис моногенних функцій за допомогою аналітичних функцій комплексної змінної.
Інтегральні теореми для моногенних функцій: формула Остроградського – Гаусса, інтегральні теореми Коші для поверхневого інтеграла і для криволінійного інтеграла, формула Стокса, теорема Морера, аналог інтегральної формули Коші.
Нескінченновимірні гармонічні алгебри, моногенні функції, зв’язок з гармонічними векторами. Застосування до просторових потенціальних полів з осьовою симетрією. Інтегральні зображення осесиметричного потенціалу і функції течії Стокса
Література:
Основна:
1. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. -- Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. – 829 с.
2. Мельниченко И.П., Плакса С.А. Коммутативные алгебры и пространственные потенциальные поля. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2008. – 230 с.
3. Plaksa S.A. Commutative algebras associated with classic equations of mathematical physics // Advances in Applied Analysis, Trends in Mathematics, Springer, Basel, 2012. – P. 177–223.
4. Plaksa S.A., Gryshchuk S.V., Shpakivskyi V.S. Commutative algebras of monogenic functions associated with classic equations of mathematical physic // Contemporary Mathematics, 553 (2011), Amer. Math. Soc., Providence, RI. – P. 245–258.
Додаткова:
5. Плакса С.А., Шпаковский В.С. Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 8. – С. 1078–1091.
6. Плакса С.А., Пухтаевич Р.П. Конструктивное описание моногенных функций в трехметрной гармонической алгебре с одномерным радикалом // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 5. – С. 670–680.
7. Plaksa S. A., Shpakivskyi V.S. A description of spatial potential fields by means of monogenic functions in infinite-dimensional spaces with a commutative multiplication // Bull. Soc. Sci. Lett. Lodz. – 2012. – 62, № 2. – P. 55—65.
8. Plaksa S.A., Shpakivskyi V.S. Cauchy theorem for a surface integral in commutative algebras // Complex Variables and Elliptic Equations. – 2014. – 59, № 1. – P. 110–119.
9. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.-- Москва: Наука, 1977. -- 408 с.
Передумови навчання:
Студент має знати базові курси теорії функцій дійсної та комплексної змінної, математичного та функціонального аналізу.