Мета курсу:
Вивчити основи теорії наборів підпросторів гільбертового простору, основи теорії фреймів, та зв'язок між цими теоріями.
Приблизний перелік тем курсу:
Гільбертів простір та його підпростори. Набори підпросторів гільбертового простору та їх класифікація. Алгебри, пророджені наборами самоспряжених ідемпотентів та їх зображення. Складність задачі класифікації наборів підпросторів. Операторна матриця Грама.
Пари підпросторів та пари ортопроекторів. Опис незвідних пар підпросторів та структурна теорема. Застосування теореми про структуру пар підпросторів.
Ортоскалярні набори ортопроекторів та ортоскалярні зображення графів. Існування ортоскалярних наборів ортопроекторів. Ортоскалярні набори, пов'язані з зірчастими графами Динкіна та розширеними графами Динкіна.
Фрейми у гільбертовому просторі. Основні поняття та приклади. Оператори аналізу та синтезу, оператор фрейма та матриця Грама. Відновлення вектора за коефіцієнтами фрейма. Двоїстий фрейм.
Побудова фреймів із заданими властивостями. Теорема Наймарка. Спектральний тетріс. Фрейми Гейзенберга-Вейля та рівнокутні системи векторів.
Фрейми як ортоскалярні зображення графів. Приклади.
Література:
Передумови навчання:
Функціональний аналіз, теорія операторів, лінійна алгебра.