Суперінтегровні та суперсиметричні системи рівнянь математичної фізики (Нікітін А.Г.)

Мета курсу: є ознайомлення слухачів з основними поняттями та методами інтегрування складних моделей сучасної математичної фізики. Передбачається навчити слухачів практичному застосуванню згаданих методів для аналізу конкретних динамічних систем, вивчення яких виникає при дослідженні актуальних проблем природознавства. Лекційний курс супроводжується індивідуальними практичними завданнями, які аспіранти виконують під час самостійної роботи над лекціями.

Приблизний перелік тем курсу:

• Рівняння Шрьодінгера та основні закони збереження для квантовомеханічних систем.

• Групові властивості рівняння Шродінгера.

• Група Галілея та її незвідні представлення.

• Системи хвильових рівнянь, інваріантні відносно групи Галілея.

• Оператор спіну у нерелятивістській квантовій механиці.

• Інтегровні системи квантової механіки. Суперсиметрія та форм-інваріантність.

• Суперінтегровні системи квантової механіки. Оператори симетрії вищих порядків.

• Суперсиметричні системи зачеплених рівнянь Шрьодінгера.

• Нелінійні рівняння Шрьодінгера та їх групова класифікація.

Література:

• 1. Демидович Б.П. Математические основы квантовой механики. Изд. 2. Москва, 2005.

  2. В. Міллер. Симетрия разделение переменных. Москва: Мир, 1991.

  3. П. Олвер, Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Москва: Мир, 1989.

  4. В.И. Фущич, А.Г. Никитин. Симметрия уравнений квантовой механики. Москва: Наука, 1990.

  5. W. Miller, Jr, S. Post and P. Winternitz, Classical and Quantum Superintegrability with Applications. J. Phys. A: Math. Theor. 46, 423001 (2013).

  6. A. G. Nikitin and Yu. Karadzhov, Matrix superpotentials, J. Phys. A: Math. Theor. 44, 305204 (2011).

  7. A.G. Nikitin, Laplace–Runge–Lenz vector for arbitrary spin. J. Math. Phys. 54, 123506 (2013).

  8. 7. A.G. Nikitin, Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion matrix. I. Generalized Ginsburg–Landau equations, J. Math. Anal. Appl. vol. 324, No 1, pp. 615–628, 2006.

Передумови навчання: студент має знати теорію диференціальних рівнянь в частинних похідних, основні відомості з теорії груп.