Мета курсу:
Ознайомити студентів з основними поняттями, ідеями й методами теорії алгебричних чисел, навчити їх користуватися відповідною технікою при дослідженні й розв'язанні конкретних задач.
Приблизний перелік тем курсу:
Поняття й елементарні властивості цілих алгебричних чисел.
Задача про розклад на первинні множники. Приклади однозначності розкладу, їх застосування. Приклади неоднозначності.
Теорія ідеалів у дедекіндових кільцях.
Конкретизація теорії ідеалів у кільцях цілих алгебричних чисел. Норма ідеалу. Розгалужені й нерозгалужені ідеали.
Геометричні методи. Лема Мінковського. Скінченність числа класів ідеалів, його оцінка. Існувння розгалужених ідеалів.
Одиниці в полях алгебричних чисел. Будова групи одиниць, приклади.
Аналітичні методи. Ряди Діріхле та їх властивості.
Рівномірний розподіл ідеалів у класах. Дзета-функція Дедекінда, її властивості та розклад у Ойлерів добуток. Існування первинних ідеалів першого ступеня.
Поля поділу кола. Закони розкладу первинних чисел у цих полях. Теорема Діріхле про первинні числа в арифметичній прогресії.
Література:
Дрозд Ю.А. Теорія алгебричних чисел. Київ, РВЦ "Київський Університет", 1997.
Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. Москва, Наука, 1985.
Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. Москва, ГИТТЛ, 1940.
Ленг С. Алгебраические числа. Москва, Мир, 1966.
Передумови навчання:
Загальноуніверситетські курси алгебри та аналізу.