Диференціальні рівняння в частинних похідних сучасної математичної фізики (Герасименко В.І.)

Мета курсу: ознайомлення слухачів як з основними поняттями та фактами теорії еволюційних рівнянь систем багатьох частинок, так і застосуванням цих результатів для аналізу конкретних складних систем, вивчення яких виникає при дослідженні актуальних проблем природознавства та сучасних технологій.

Приблизний перелік тем курсу:

1. ВСТУП

1.1. Статистичні властивості систем багатьох частинок

1.2. Еволюційні рівняння систем багатьох частинок

• 1. ЗАДАЧА КОШІ ДЛЯ РІВНЯНЬ ЛІУВІЛЛЯ

2.1. Стани та спостережувані систем багатьох частинок

2.2. Групи операторів класичних систем багатьох частинок

2.3. Задача Коші для рівнянь Гамільтона

2.4. Задача Коші для рівняння Ліувілля та дуального рівняння Ліувілля

2.5. Задача Коші для ієрархії рівнянь Ліувілля для кореляційних функцій

• 1. ІЄРАРХІЇ РІВНЯНЬ ББГКІ

3.1. Еквівалентні методи опису станів та спостережуваних систем багатьох частинок

3.2. Задача Коші для дуальної ієрархії рівнянь ББГКІ

3.3. Задача Коші для ієрархії рівнянь ББГКІ

3.4. Задача Коші для ієрархії нелінійних рівнянь ББГКІ

3.5. Методи побудови розв'язків ієрархій еволюційних рівнянь

• 1. НЕЛІНІЙНІ КІНЕТИЧНІ РІВНЯННЯ

4.1. Кінетична еволюція: класифікація кінетичних рівнянь

4.2. Приклад: скейлінгова границя Больцмана -- Греда та рівняння Больцмана

4.3. Узагальнене рівняння Енскога

4.4. Методи побудови кінетичних рівнянь

4.5. Кінетичні рівняння систем заряджених частинок

• 1. ГІДРОДИНАМІЧНІ РІВНЯННЯ

5.1. Локально-рівноважні стани систем багатьох частинок

5.2. Еволюційні рівняння для середніх значень спостережуваних

5.3. Асимптотичні розклади розв'язку рівняння Больцмана та рівняння гідродинаміки

5.4. Рівняння Ейлера

5.5. Рівняння Нав'є ─ Стокса

• 1. ЕВОЛЮЦІЙНІ РІВНЯННЯ КВАНТОВИХ СИСТЕМ

6.1. Задача Коші для рівнянь Гайзенберга та фон Неймана

6.2. Ієрахії рівнянь квантових систем багатьох частинок

6.3. Квантові кінетичні рівняння: квантове рівняння Больцмана, нелінійне рівняння Шредінгера

6.4. Макроскопічні рівняння квантових систем

• 1. СУЧАСНІ НАПРЯМКИ РОЗВИТКУ ТЕОРІЇ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ СИСТЕМ БАГАТЬОХ ЧАСТИНОК

7.1. Еволюційні рівняння гранульованих матеріалів

7.2. Відкриті системи в кінетичній теорії зіткнень

7.3. Активні м'які речовини: живі організми (біокінетика)

7.4. Кінетичні рівняння квантових систем частинок в конденсованих станах

7.5. Динаміка кореляцій квантових систем

Література:

• 1. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. – М.-Л.: Гостехиздат, 1946, 119с.

  2. C. Cercignani, V.I. Gerasimenko and D.Ya. Petrina, Many-particle Dynamics and Kinetic Equations. Springer, 2012.

  3. V.I. Gerasimenko, Hierarchies of quantum evolution equations and dynamics of many-particle correlations. (In: Statistical Mechanics and Random Walks: Principles, Processes and Applications. N.Y.: Nova Science Publ., Inc., 2012).

  4. R. Dautray and J.L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, v.1, v.5, Springer-Verlag, 1992.

  5. O. Bratelli and D.W. Robinson, Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics, Springer, 1997.

Передумови навчання: знання класичної теорії диференціальних рівнянь в частинних похідних, вміння використовувати методи диференціальних рівнянь в частинних похідних при розв’язуванні задач математичної фізики.