Диференціальна топологія (С. І. Максименко)

Мета курсу:

Ознайомити слухачів з базовии понятями та фактами диференціальної топології. Показати як результати диференціального та інтегрального числення, а також теорії диференціальних рівнянь в евклідових просторах переносяться на многовиди.

Приблизний перелік тем курсу:

• 1. Многовиди, дотичні простори та дотичні розшарування. Диференційовні відображення між многовидами. Критичні та регулярні значення. Теорема Сарда про множину регулярних значень досить гладкого відображення. Трансверсальність. Теорема Тома про щільність множин трансверсальних відображень.

  2. Дифеоморфізми, вкладення, занурення (іммерсії) та субмерсії многовидів. Теорема Уітні про вкладення n-вимірного многовиду в R2n+1

  3. Поверхні. Класифікація орієнтовних та неорієнтовних компактних поверхонь.

  4. Невироджені критичні точки. Функції Морса. Лема Морса. Нерівності Морса. Структура функцій Морса на компактних поверхнях.

  5. Топологічні групи. Підгрупи та простори суміжних класів. Нормальні підгрупи та фактор-групи. Теореми про гомоморфізми топологічних груп. Компонента (лінійної) зв'язності тотожного відображення.

  6. Дія групи на множині. Стабілізатор та орбіта точки. Зв'язок між стабілізатором та орбітою. Лема Бернсайда та її застосування.

  7. Динамічні системи, потоки та векторні поля на многовидах. Поле градієнта гладкої функції. Індекс особливої точки векторного поля. Теорема Хопфа-Пуанкаре про зв'язок між індексами критичних точок векторного поля та Ейлеровою характеристикою многовиду.

  8. Групи Лі. Ліво- та право-інваріантні векторні поля. Алгебра Лі групи Лі. Матричні групи GL(R,n), SL(n), O(n) та їх алгебри Лі.

Література:

• 1. Дж. Милнор, А. Уоллес. Дифференциальная топология. Начальный курс. Мир, Москва, 1972.

  2. М. Хирш. Дифференциальная топология. Мир, Москва, 1979.

Передумови навчання:

Основи загальної топології (неперервність, компактність, зв'язність, метричні простори) та математичного аналізу (похідна, інтеграл, теорема про неявну функцію!!!).