Мета курсу:
Ознайомити студентів з базовими поняттями і технікою алгебричної геометрії та навчити їх застосовувати цю техніку до дослідження й розв'язання конкретних задач.
Приблизний перелік тем курсу:
Афінні алгебричні многовиди, їх кільця функцій, теореми Гільберта про базу і про нулі, відповідність між алгебричними й геометричними поняттями.
Проективні алгебричні многовиди. Приклади. Проективний варіант теореми Гільберта про нулі. Многовиди Сеґре, Веронезе та Ґрасмана.
Поняття пучка та простору з пучком функцій. Загальне поняття алгебричного многовиду. Добуток многовидів. Відокремлювані й повні многовиди. Повноти проективних многовидів.
Поняття розмірності алгебричного многовиду й розмірності Круля кільця, зв'язок між ними. Властивості розмірності. Розмірність перетину з гіперповерхнею. Теорема про розмірність шарів та її застосування.
Теорія перетинів. Многочлен Гільберта. Теорема Безу про перетин кривих.
Особливі й неособливі точки. Властивості многовиду в околі неособливої точки.
Обчислювальні засоби алгебричної геометрії. Бази Ґребнера Їх побудова та застосування.
Література
Дрозд Ю.А. Вступ до алгебричної геометрії. Львів, ВНТЛ-Класика, 2004.
Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. Москва, МЦНМО, 2007 (і попередні видання).
Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. Москва, Мир, 1981.
Бухбергер Б. и др. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления. Москва, Мир, 1986.
Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Москва, Мир, 2000.
G.-M. Greuel, G. Pfister. A SINGULAR Introduction to Commutative Algebra. Springe
Передумови навчання:
Загальноуніверситетський курс алгебри. Знайомство з елементарними поняттями топології.