Мета курсу:
Виачення розділів теорії необмежених операторів у гільбертовому просторі, що не входять до стандартної програми.
Приблизний перелік тем курсу:
Необмежені оператори у гільбертовому просторі, симетричність та самоспряженість.
Спектральна теорема у формі розкладів обиниці та у формі операторів множення, функції від самоспряжених операторів.
Однопараметричні унітарні групи. Теорема Стоуна.
Аналітичні вектори. Аналітичний критерій самоспряженості. Проблема моментів Гамбургера, існування та однозначність. Ортогональні поліноми та спектральна теорія якобієвих матриць.
Полярний розклад замкненого оператора.
Комутативні набори самоспряжених операторів. Комутування необмежених операторів. Сумісний розклад одиниці. Спектральна теорема.
Зображення адитивної групи скінченновимірного дійсного простору. Сумісні аналітичні вектори набору операторів.
Нескінченні комутативні набори самоспряжених операторів. Випадок зліченних наборів. Комутативні набори з простим спектром.
Некомутативні набори операторів. Зображення груп Лі та алгебр Лі. Зображення групи Гейзенберга та CCR. Алгебра Вейля та її зображення. Оператори народження і знищення, простір Фока. Ізобморфізм простору Фока та простору зображення Вейля.
Зображення операторних співвідношень. Операторні співвідношення, пов'язані з динамічними системами. Необмежені зображення. Скінченновимірні зображення та цикли динамічної системи. Вимірні перерізи та складність опису зображень. Приклади операторних співвідношень. Зображення алгебр Кунца.
Пари операторів, пов'язаних квадратичним співвідношенням.
Література:
1. Ю.М.Березанський, Г.Ф.Ус, З.Г.Шефтель. Функціональний аналіз.
2. М.Рид, Б.Саймон. Методы современного функционального анализа. Т.1., Т2.
3. Ю.С.Самойленко. Спектральная теория наборов самосопряженных операторов.
4. Yu.Samoienko, V.Ostrovskyi. Introduction to the theory of representations of finitely presented *-algebras. Representations by bounded operators/
Передумови навчання:
Функціональний аналіз. Теорія операторів. Лінійна алгебра.