División de polinomios

Esta operación es tan importante que merece un tema aparte. Primero debemos recordar cómo se llaman cada uno de los elementos de una división:

Y conviene repasar cómo se divide con números naturales:

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

De forma similar a como se divide con un divisor de dos cifras, para dividir polinomios se sigue el proceso siguiente:

1º Se ordenan y se completan dividendo y divisor según potencias decrecientes

2º Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, para obtener el primer término del cociente

3º Se multiplica el divisor completo por el primer término del cociente y se escribe el resultado debajo del dividendo

4º Se cambia el signo de todos los términos escritos, para hacer la resta

5º Se baja el término siguiente, y se repite el proceso hasta que el grado del resto sea menor que el del divisor

División exacta de polinomios

Cuando se divide un polinomio entre un binomio del tipo x + a, el resto es igual a cero sólo si el valor numérico del polinomio para x = −a es cero.

Por ejemplo:

P(x) = x² + 8x + 15 es divisible entre x + 3, porque el valor numérico de P(x) para x = −3 es:

P(x =−3) = (−3)² + 8 · (−3) + 15 = 9 − 24 + 15 = 0

Otra propiedad de las divisiones exactas es que el término independiente del binomio siempre es divisor del término independiente del polinomio.

En el ejemplo anterior, 3 es divisor de +15

Método de Ruffini para dividir

La división de un polinomio entre un binomio del tipo x + a se puede hacer con el siguiente método:

1º Se escriben los coeficientes del dividendo ordenados

2º Se dibuja una línea vertical a la izquierda y otra horizontal debajo

3º Se escribe el término independiente del divisor cambiado de signo a la izquierda de todo

4º Se escribe debajo de la línea horizontal el primer coeficiente del dividendo

5º se multiplica el número del divisor por el coeficiente, y se escribe debajo del segundo coeficiente

6º Se suma o se resta para obtener la siguiente cifra, con la que se repite el proceso hasta acabar con los coeficientes.

Por ejemplo, para dividir 3x³ − 4x² − 11x + 8 entre x − 3:

Quedaría como polinomio cociente: 3x² + 5x + 4, y resto 20.