Claude-Gaspard Bachet de Méziriac

Em 1624, no seu famoso livro Problèmes Plaisants et Délectables qui se font par les nombres, Bachet interpretou que Forcadel estava a prescrever a sua regra como uma condição necessária e suficiente. Movido pelo intuito de demonstrar que essa premissa não era uma exigência exclusiva, Bachet propôs-se a refutá-la apresentando um contraexemplo eficaz: o caso dos recipientes de 12, 8 e 5 unidades. Argumentou da seguinte forma: 

"a condição que prescreve Forcadel a esta questão ... não é necessária. Pois ele quer que se tomem para os dois menores números dois dos números contíguos na progressão contínua dos números ímpares que começa em 1, 3, 5, 7, 9, etc., e para o maior, a soma deles: como no exemplo dado nós tomámos 3 e 5, e a soma deles, a saber, 8. Mas embora observando esta condição a questão tenha sempre solução, todavia não é de todo necessário escolher tais números, o que me basta provar por um único exemplo. Sejam os dois menores de 5 e de 8 pintas, e o maior de 12; é evidente que 5 e 8 não são dois números contíguos na progressão dos ímpares, e que 12 não é de modo algum a soma deles. No entanto, a questão pode resolver-se."

No seu livro original, Bachet demonstrou a viabilidade de outras combinações. Mais tarde, nas edições revistas da sua obra (como a edição de 1884 expandida por A. Labosne), o problema foi formalmente generalizado com a inclusão de novos desafios, tais como:

• Dividir 16 canadas em duas partes iguais, usando duas cabaças (uma de 9 e outra de 7);

• Dividir 16 canadas em duas partes iguais, usando duas cabaças (uma de 11 e outra de 6);

• Dividir 42 canadas em duas partes iguais, usando duas cabaças (uma de 27 e outra de 12).

Labosne refere que o método original de Bachet dependia de uma análise caso a caso muito longa e complexa, propondo uma abordagem "algébrica geral" e apresenta dois métodos que são, na verdade, apenas duas formas mecânicas e repetitivas de mover o líquido de um lado para o outro até o milagre acontecer.

1.º método  (Fluxo: A → B → C)
Labosne parte de três vasos A (vaso grande), B (vaso médio) e C (vaso pequeno).

Passo 1: Enche-se B (vaso médio) com A (vaso grande),
Passo 2: depois enche-se C (vaso pequeno) com B (vaso médio)
Passo 3: se o vaso pequeno C ficar cheio, verte-se em A, esvaziando-o.
Passo 4: Durante esta operação, fica no vaso médio B uma quantidade de líquido expressa por:  B-C
Se B-C ≠ A/2 (valor que se pretende obter), pega-se nesse resto que ficou em B e verte-se para dentro de C (ficando o vaso pequeno com B-C)
Este processo é repetido até o vaso pequeno voltar a ficar cheio:
enche o vaso médio B, verte-se no pequeno, ou seja, segue-se este percurso A → B → C 

2.º Método (Fluxo: A → C → B)

Labosne utiliza os mesmos três vasos: A (vaso grande), B (vaso médio) e C (vaso pequeno).

Passo 1: Enche-se C (vaso pequeno) com o líquido de A (vaso grande).

Passo 2: Depois, verte-se todo o conteúdo de C (vaso pequeno) para dentro de B (vaso médio).

Passo 3: Volta-se a encher o vaso pequeno C a partir de A e deita-se novamente em B. Este processo de transferência e acumulação repete-se sucessivamente.

Passo 4: Quando o vaso médio B fica completamente cheio, o seu conteúdo é vertido de volta em A, esvaziando-o. A quantidade que sobra no vaso pequeno C passa a ser expressa por: C - B (o conteúdo de C menos o espaço que faltava para preencher B).

Se esta quantidade restante em C for diferente de A/2 (o valor de metade que se pretende obter), pega-se nesse resto que ficou guardado em C e verte-se para dentro do vaso médio B (que agora está vazio), servindo de base para o ciclo seguinte.

Este processo é repetido até que a metade exata do líquido seja isolada no vaso médio B (ou no grande A). Segue-se, portanto, este percurso contínuo inverso: A → C → B.

A Restrição do Volume Total (A < B + C): O autor alerta que se o volume total do líquido A for menor do que a capacidade somada dos dois vasos menores B+C, a regra matemática deixa de garantir uma resposta a priori, podendo o problema tornar-se impossível (como no caso das medidas (16, 12, 7)).

A Matemática Oculta no Método de Labosne

Embora o livro de Labosne apresente estes métodos como um processo mecânico de encher e esvaziar, do ponto de vista teórico o algoritmo funciona como uma equação matemática.

Cada vez que executa o ciclo (seja no sentido A para B para C, ou no sentido A para C para B), a quantidade de líquido que consegue isolar em qualquer uma das vasilhas é sempre o resultado de somar ou subtrair as capacidades dos dois vasos menores.

Ou seja, qualquer valor obtido resulta sempre em:

 1.º Método (Percurso A a B a C): mB - nC

Onde: m é o número de vezes que se enche o vaso médio B a partir de A, e n é o número de vezes que o vaso pequeno C fica cheio e é esvaziado de volta para A. A quantidade final resulta desta subtração sucessiva.

2.º Método (Percurso A a C a B): nC - mB

Onde: n é o número de vezes que se enche o vaso pequeno C a partir de A, e m é o número de vezes que o vaso médio B fica cheio e é esvaziado de volta para A.

Assim, qualquer quantidade V de líquido que consiga isolar numa das vasilhas pode ser expressa sob a forma:
V = xB + yC, com x e y números inteiros (representando o número de vezes que enche ou esvazia cada vasilha). 

Pelo Teorema de Bézout, a equação xB + yC = V só tem como solução números inteiros se o Máximo Divisor Comum de B e C, m.d.c.(B, C), dividir exatamente a quantidade V desejada. Como o objetivo do problema é obter a metade do vaso maior (V = A/2):

• Se m.d.c.(B, C) = 1 (são primos entre si): É garantido que consegue medir qualquer número inteiro de litros entre 1 e A, incluindo A/2. É por isso que o par (5, 3) funciona sempre num vaso de 8 litros, pois mdc(5, 3) = 1.

• Se m.d.c.(B, C) = d > 1 (têm fatores comuns): Só é possível obter volumes que sejam múltiplos exatos desse fator comum d. Se d não dividir A/2, a solução é matematicamente impossível, pois o ciclo entraria em repetição infinita sem nunca atingir o valor pretendido.