O Columbia Algorismus é um manuscrito matemático do século XIV, de autor anónimo, escrito em italiano vernacular medieval 

Problema n.º 4 — A Viagem aos Quatro Mercados (Fólio 3r) 

Faz-me este cálculo: um homem foi a 4 mercados; no primeiro duplica [o dinheiro], ganha mais 8 e gasta 8; depois duplica novamente, ganha mais 8 e gasta 9; depois duplica novamente, ganha mais 7 e gasta 6; depois duplica novamente, ganha mais 6 e gasta 5 [duplica]; depois contou os seus dinheiros e viu que tinha exatamente 5 dinheiros. Pergunto: quantos eram os dinheiros com que saiu de casa?

Lembra-te de que isto se resolve andando para trás: no mercado de hoje [o último] tinha 5, e [mais] 5 fazem 10; tira-lhe 6, ficam 4; divide a meio, dá 2. E diz: 2 e 6 fazem 8; tira-lhe 7 e resta 1; divide a meio, dá 1/2. E diz: 1/2 e 9 fazem 9 1/2; tira-lhe 8, ficam 1 1/2; divide a meio, dá 3/4. E diz: 3/4 e 8 fazem 8 3/4; tira-lhe 8, ficam 3/4; divide a meio, dá 3/8. Com tantos dinheiros saiu de casa, ou seja, 8 [!] dinheiros.

Notas:

• Trata-se de um problema do tipo viagem de negócios (semelhante ao problema clássico do guarda no pomar de maçãs), com a seguinte formulação algébrica:   (((2x + 8 - 8) × 2 + 8 - 9) × 2 + 7 - 6) × 2 + 6 - 5 = 5
  Este problema pertence à família de problemas medievais conhecidos como problemas de inversão ou de cálculo regressivo, como não existia ainda a notação algébrica moderna com a incógnita x, o mestre de ábaco ensina o aluno a começar pelo resultado final (5 dinheiros) e a inverter cada operação pela ordem contrária: onde o mercador gastou, soma-se; onde ganhou, subtrai-se; e onde duplicou o capital, divide-se por dois.

•  Erros do Copista. O copista apesar de realizar todos os cálculos intermédios corretamente até chegar à fração 3/8 (onde, por lapso, escreve 1/8), o escriba engana-se na conclusão final e escreve «8 dinheiros» (assinalado por Vogel com um ponto de exclamação).

Problema n.º 5 — A Partilha Tumultuosa dos Três Sócios (Fólio 3v) 

Faz-me este cálculo: 3 sócios tinham dinheiro em sociedade, e não sabemos quanto era este dinheiro. Um deles devia receber 1/2, o outro 1/3 e o outro 1/6; quando quiseram repartir este dinheiro, começaram a arrebatar [a tirar à força] uns aos outros, e uns apanharam uma parte maior e outros uma parte menor. Depois quiseram chegar a um acordo, a saber: aquele que devia receber 1/2 deve repor 1/2 do que arrebatou; aquele que devia receber 1/3 repõe 1/3 do que arrebatou; e aquele que devia receber 1/6 repõe 1/6 do que arrebatou. Depois, todo este dinheiro [devolvido] divide-se por 3, e cada um fica com a sua parte justa.

Fica a saber que os dinheiros eram 47 soldos.

Um arrebatou ---------- 33 soldos

E o outro arrebatou ---------- 13 soldos

E o outro arrebatou ---------- 1 soldo.

Notas:

•  O autor não explica o método algébrico para descobrir os números, dando apenas a resposta mínima em números inteiros (47 soldos divididos em 33, 13 e 1).  Podendo ser resolvido a partir do processo:

De uma quantia total s, cabe a A a parte s/2, a B a parte s/3 e a C a parte s/6. Cada um dos três retira para si uma quantia (a, b e c, respetivamente) e devolve depois uma fração para um fundo comum n, de modo que n = a/2 + b/3 + c/6. Este montante n é então dividido em partes iguais (por 3), ficando cada um com a sua parte devida:

Para A: s/2 = a/2 + n/3 — logo, a = s - 2n/3
Para B: s/3 = 2b/3 + n/3 — logo, b = s/2 - n/2
Para C: s/6 = 5c/6 + n/3 — logo, c = s/5 - 2n/5
Como a + b + c = s, obtém-se a relação 21s = 47n, pelo que s = 47 (e n = 21) é a menor solução inteira.

• De acordo com Vogel (1977) este problema remonta ao matemático árabe al-Karaji (séculos X–XI), surgindo depois em vários exemplos de Leonardo de Pisa (Fibonacci), bem como num manuscrito de Lucca Pacioli do século XIV. 

Problema n.º 31 — A Compra do Peixe com Quatro Moedas (Fólio 14v–15r) 

Faz-me este cálculo: um peixe custa 5 soldos de cortonesi e deve ser pago com 4 moedas, a saber: cortonesi, pisani, ravegnani e paparini . E 3 pisani valem 4 cortonesi, e 5 ravegnani valem 8 cortonesi, e 6 paparini valem 11 cortonesi; e queremos dar tanta quantidade de uma moeda quanto da outra, de modo que valha 5 soldos de cortonesi.

Esta é a sua regra certa, como se devem fazer todos os cálculos semelhantes: deves ver quanto vale cada dinheiro em cortonesi, pois um pisano vale 1 dinheiro e 1/3 de cortonesi, um ravegnano vale 1 dinheiro e 3/5 de cortonesi, um paparino vale 1 dinheiro e 5/6 de cortonesi, e 1 cortonese vale [mais] um cortonese.

Nós devemos encontrar um número onde se encontrem [se possam calcular] 1/2, 1/5 e 1/6, o que se encontra em 30. E assim devemos multiplicar primeiro cada um por 30 e dizer: 30 vezes 1+1/3 fazem 40, e põe 40 de lado; e diz: 30 vezes 1+3/5 fazem 48, e põe 48 por baixo de 40; e diz: 30 vezes 1+5/6 fazem 55, põe por baixo de 48; e diz: 30 vezes 1 fazem 30, e põe 30 por baixo de 55.

E soma 30 e 55 e 48 e 40, o que faz 173, e diz: quero que este 173 seja 60. Pela regra de três: se 173 fosse 60, o que seria 30 [isto é, o número onde se encontram as frações]? Seria 10 dinheiros e 70/173, «assim dez inteiros» [?]. Deve dar-se essa quantidade, e está feito.

Notas:

• Este problema ilustra o funcionamento da Regra da Igualdade (Regula equalitatis), uma vez que exige pagar um peixe com quatro moedas diferentes utilizando uma igual quantidade de peças de cada uma. Para resolver a questão, o autor utiliza a seguinte estratégia:

• Primeiro, descobre quanto vale uma moeda de cada tipo em cortonesi (4/3, 8/5, 11/6 e 1).

• Para eliminar as frações, multiplica todas pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores (30), obtendo os números proporcionais 40, 48, 55 e 30, cuja soma é 173 dinheiros de cortonesi por cada lote de 30 moedas de cada espécie.

• Como o peixe custa 5 soldos (ou seja, 5 × 12 = 60 dinheiros de cortonesi), aplica a regra de três: se 30 moedas de cada tipo valem 173 dinheiros, quantas moedas de cada tipo são precisas para perfazer 60 dinheiros? A resposta obtida é (30 × 60) / 173 = 1800 / 173 = 10 70/173 moedas de cada espécie.

No texto medieval, o autor calcula apenas o valor correspondente aos cortonesi (10 70/173), deixando indicados no final os números proporcionais 40, 48, 55 e 30. Como assinala Kurt Vogel, os valores em cortonesi correspondentes às outras três moedas (40, 48 e 55) seriam 13 151/173, 16 112/173 e 19 13/173, que somados a 10 70/173 perfazem exatamente os 60 dinheiros do preço do peixe.

• Em notação algébrica moderna, se designarmos por x a quantidade igual de moedas de cada espécie, o problema traduz-se na seguinte equação linear:

(4/3)x + (8/5)x + (11/6)x + x = 60, cuja solução é x = 10 70/173.

• Este problema fornece evidências da origem toscano-úmbria do códice. Na transação, todas as moedas estrangeiras — os pisani (de Pisa), os ravegnani (de Ravena) e os paparini (cunhados pelos Papas em Viterbo e Roma) — são convertidas para uma única moeda de referência local: os cortonesi (cunhados na cidade de Cortona). Esta escolha demonstra que o público-alvo do mestre de ábaco vivia, estudava e negociava na região de Cortona. 

Problema n.º 44 — O Roubo da Tampa do Cálice (Fólio 20v) 

Faz-me este cálculo: alguém tinha uma taça com uma tampa; esta taça pesava 33 onças e 1/2, das quais 26 1/3 eram de prata, 4 1/6 eram de ouro e 3 eram de cobre; e a tampa pesava 7 onças e 1/4. A tampa perdeu-se e foi roubada. Pergunto: quanto terá esta tampa de prata, quanto de ouro e quanto de cobre?

Esta é a sua regra certa, como se devem fazer todos os cálculos semelhantes que se podem resolver pela regra de três, pois deve dizer-se: se 33 1/2 têm 26 1/3 de prata, quanto terão 7 1/4? Diz: 7 1/4 vezes 26 1/3 e divide por 33 1/2, e tanta prata terá a tampa; e se quiseres saber quanto terá de ouro, diz assim: se 33 1/2 têm 4 1/6 de ouro, quanto têm 7 1/4? Diz: 4 1/6 vezes 7 1/4 e divide por 33 1/2, e tanto ouro terá a tampa; e se quiseres saber quanto cobre, diz: se 33 1/2 valem 3 de cobre, quanto valerão 7 1/4? Diz: 3 vezes 7 1/4 fazem 21 3/4 e divide por 33 1/2, e tanto cobre terá a tampa que está desenhada aqui em baixo.

Problema n.º 57 — A Árvore Enterrada (Fólio 26v) 

Faz-me este cálculo: 1/3 e 1/5 de uma árvore estão debaixo da terra, e por cima aparecem 12 braças [br.]. Pergunto: qual é o comprimento total da árvore que está desenhada aqui em baixo?

Se quiseres saber quanto media toda a árvore, devemos encontrar um número onde se achem 1/3 e 1/5, o que se encontra em 3 vezes 5, ou seja, em 15. Faz de conta que a árvore media ao todo 15 braças. Tira 1/3 e 1/5 de 15 e restam 7, e diz assim: eu queria que 7 fosse 12, o que seria então 15? 12 vezes 15 fazem 180, a dividir por 7, donde resulta 25 5/7. E tanto media toda a árvore; e deste modo se fazem todos os cálculos semelhantes.

Problema n.º 58 — O Pano do Alfaiate (Fólio 27r–27v) 

Faz-me este cálculo: alguém quer mandar fazer uma túnica [ghonella], uma sobrecasaca [guarnaccia] e um manto com um mesmo pano, o qual tem de largura 1 braça e 7/8 de braça, e precisa deste pano [um comprimento de] 23 1/2 braças; encontraram um outro pano que tem de largura 1 braça e 3/4 [quartieri]. Pergunto: quanto pano precisaremos deste segundo tecido para que renda tanto quanto rendia o primeiro?

Esta é a sua regra, como se devem fazer todos estes cálculos semelhantes, pois devemos dizer: se 1 3/4 fosse 1 7/8, o que seria 23 1/2 braças? Devemos dizer 23 1/2 vezes 1 7/8, que fazem 43 1/8 (!), os quais se devem dividir por 1 3/4. Para isso, devemos ver em que número se acham 1 quarto e 1/8, o que se acha em 8, e diz: 8 vezes 43 1/8 fazem 345; e diz: 8 vezes 1 3/4 fazem 14. Portanto, deve dividir-se 345 por 14, donde resultam 24 braças e 9/14 de braça. E de tanto pano precisaremos daquele que tem de largura 1 3/4 de braça; e deste modo se fazem todos os cálculos semelhantes, seja com mais, seja com menos, consoante o que for pedido. E recordo-te que a nova medida [a largura do novo pano] deve ser sempre o divisor.

Notas: 

• O texto menciona três peças clássicas do guarda-roupa italiano trecentista: a ghonella (uma túnica comprida usada por baixo), a guarnaccia (uma sobrecasaca ampla, muitas vezes forrada) e o mantello (a capa exterior). Como o segundo tecido disponível no mercado é mais estreito (1 3/4 braças em vez de 1 7/8), o alfaiate precisa de comprar um comprimento maior para manter a mesma superfície total de pano.

• O copista erra logo na primeira multiplicação (23 1/2 × 1 7/8), o resultado correto é 44 1/16, mas o copista escreveu 43 1/8 (assinalado por Vogel com um ponto de exclamação). A partir daí, o copista fez todos os passos seguintes corretamente (43 1/8 ÷ 1 3/4 = 345 ÷ 14 = 24 9/14), mas acabou por copiar mais um número errado (24 3/8) junto à ilustração.  A solução correta seria (23 1/2 × 1 7/8) ÷ 1 3/4 = 25 5/28 

Problema n.º 64 — O Mestre-de-Obras Preguiçoso (Fólio 31r–31v) 

Faz-me este cálculo: um homem quer mandar construir um palácio; encontrou um mestre-de-obras que diz que o fará em 30 dias com o seguinte acordo: por cada dia em que trabalha deve receber 5 florins, e por cada dia em que <não> trabalha deve pagar de volta 9 florins. Acontece que tanto trabalhou e tanto esteve sem trabalhar que não deve receber nada nem pagar nada, e deu o palácio por concluído. Pergunto: quanto tempo trabalhou e quanto tempo esteve sem trabalhar?

Esta é a sua regra certa, como se deve fazer: deves dizer que 5 e 9 fazem 14; e diz assim, que o dia tenha 14 horas (!), das quais 9 horas trabalha e 5 descansa. Se quiseres fazer para 30 dias, diz assim: se 14 fosse 30, o que seria 9? Diz: 9 vezes 30 fazem 270, a dividir por 14, donde vêm 19 dias e 4/14 de dia; e tanto trabalhou. E se nós saber quanto <não> trabalhou, diz: se 14 fosse 30, o que seria 5? Diz: 5 vezes 30 fazem 150, divide por 14, donde vêm 10 dias e 10/14 de dia; e tanto <não> trabalhou. E deste modo se fazem todos os outros cálculos semelhantes, com mais ou com menos.

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