História da Matemática - história dos problemas

História da Matemática Grega

Contexto Histórico e Origens da Civilização

A história da civilização grega tem suas origens nas invasões de povos bárbaros (dórios, aqueus, jónicos e eólios), na península balcânica por volta do segundo milénio a.C. Estes povos foram conquistando as civilizações ali estabelecidas e avançando em direcção à ilha de Creta.

O período histórico da civilização grega teria início, por volta de 800 a.C. Nesta altura os Gregos mudaram do sistema de escrita hieroglífica para o alfabeto fenício. Isto permitiu-lhes transmitir por escrito a sua literatura, utilizando o papiro. Em 776 a.C. realizaram-se os primeiros Jogos Olímpicos.

Com o crescente comércio e a necessidade de defesa, o povo reuniu-se em torno de fortificações, formando a principal unidade política de Grécia Antiga: a cidade-Estado ou polis (Atenas, Esparta, Tebas, Corinto, Argos, ...).

Os Gregos espalharam-se por vários pontos do litoral dos Mares Egeu e Negro, chegando a atingir a Bacia do Mediterrâneo. Fundaram diversas cidades como Crotona, Elea e Siracusa (cidades da Magna Grécia, no sul da Itália) ou como Mileto e Samos, na Ásia Menor.

Mosaico romano da Academia de Platão, proveniente de Pompeia (século I a.C.),.

A Rota dos Centros de Conhecimento e da Matemática

O grande florescimento da cultura grega surgiu na colónia situada na Ásia Menor, principalmente na cidade de Mileto. No início do século VI a.C., os filósofos de Mileto, entre eles Tales (c. 625 a.C. a c. 547 a.C.), começaram a tentar compreender os fenómenos da natureza sem recorrer a mitos e à religião. A utilização do raciocínio dedutivo deu origem à criação de uma matemática dedutiva e formalmente organizada, bem diferente da matemática de carácter iminentemente prático, desenvolvida no Egito e na Mesopotâmia, com quem, certamente, tinham contactos comerciais.

No final do século VI a.C., o centro do conhecimento e das Matemáticas Gregas mudou-se de Mileto e de outras cidades na Ásia Menor para a Magna Grécia, onde terá vivido Pitágoras (c. 569 a.C. a c. 475 a.C.).Por volta de meados do século V a.C., o centro mudou-se de novo, desta vez para Atenas, onde a matemática e a filosofia se desenvolveram principalmente na Academia de Platão (427 - 347 a.C.).

O maior desenvolvimento da matemática grega deu-se no período helénico, de 300 a.C. a 200 d.C. Por volta de 300 a.C., o centro da matemática mudou-se de Atenas para a cidade construída por Alexandre, o Grande (358 - 323 a.C.) – Alexandria (no Egipto), onde no Museu trabalharam matemáticos como Euclides (c. 325 - c. 265 a.C.). Alexandria permaneceu o centro das matemáticas durante cerca de um milénio.

Uma página de uma recensão (tahrīr) árabe do século XIII dos Elementos de Euclides por Nasir al-Din al-Tusi. © Biblioteca da Universidade de Edimburgo.

A Sobrevivência em Papiro e a Lógica Dedutiva

Os textos da maior parte dos matemáticos gregos não chegaram aos nossos dias na sua versão original, uma vez que eram escritos em papiro. Os rolos de papiro eram muito frágeis e estragavam-se com a utilização. Assim, apenas os trabalhos considerados importantes, como os Elementos de Euclides, e que foram copiados frequentemente, é que chegaram até aos nossos dias. Por isso, o que normalmente se designa de Matemática Grega é o que mais tarde os autores bizantinos e árabes traduziram e copiaram a partir das fontes gregas disponíveis na época (Friberg, 2005).

Esta Matemática Grega era, como se disse, uma matemática de caráter dedutivo, não havendo propriamente livros contendo problemas, mas axiomas, proposições, teoremas e demonstrações, os quais não são objeto de estudo nestas páginas. De qualquer forma, mesmo esta matemática levantou alguns problemas, principalmente aqueles que os matemáticos da época não foram capazes de resolver – os três problemas clássicos da antiguidade: a quadratura do círculo, a trisseção do ângulo e a duplicação do cubo.

Um dos mais antigos e completo fragmento de um papiro contendo diagramas dos Elementos de Euclides.

Encontrado em 1869-97, em Oxyrhynchus, no Egipto, por Grenfell e Hunt. Encontra-se actualmente na Universidade da Pensilvânia.

Classificação dos Textos Originais e Papiros

Friberg (2005) divide os textos gregos originais da época, e não as traduções e cópias posteriores, em dois grupos:

textos diretamente relacionados com os Elementos de Euclides, tal como o da imagem;
textos não relacionados com os elementos de Euclides, todos do período ptolemaico e romano do Egito.

Estes últimos textos são, portanto, contemporâneos dos papiros escritos em demótico (escrita egípcia) e não se encontram diferenças significativas entre estes Friberg (2005).

Nestas páginas são apresentados alguns destes textos, que contêm, portanto, problemas na linha dos problemas levantados pelos egípcios e pelos babilónios.

Textos, Datas e Conteúdos matemáticos

Os Papiros da Universidade de Michigan
- Papiro 620 (Século II d.C.): Desafios teóricos avançados envolvendo sistemas de equações lineares.
- Papiro 4966 (Século II d.C.): Longo rolo de papiro com 15 problemas práticos sobre taxas no rio Nilo, cálculo de juros bancários, comércio e medida de terrenos.
Os Papiros da Biblioteca Nacional da Áustria
- Papiro Vindobonensis 26740 (Séculos I–II d.C.): Exercícios aplicados ao cálculo de áreas de círculos e figuras circulares planas.
- Papiro Vindobonensis 19996 (Século I d.C.): Estereometria prática focada no cálculo de volumes em 3D (cones, pirâmides e celeiros).
- Papiro Vindobonensis Graecus 26011e (Séculos I–III d.C.): Caderno escolar de aritmética básica e metrologia.

Manuais Escolares e Grandes Códices

Códice Matemático P. Math (Século IV d.C. – Universidade de Michigan): Um livro de papiro com 38 problemas resolvidos passo a passo. É a melhor referência antiga para entender a matemática aplicada à agricultura (como calcular o espaço para plantar videiras e a capacidade de celeiros).

Achados Arqueológicos Dispersos

Papiro de Ayer (P.Chicago litt. 3) (Século I d.C. – Universidade de Chicago, EUA): Dedicado à agrimensura, focado no cálculo de áreas de terrenos com formato de quadriláteros.
Papiro de Soknopaiou Nesos (P.Tebt. II 591) (Séculos I–II d.C. – Universidade de Berkeley, EUA): Exercícios práticos de medição de campos agrícolas semicirculares à beira do Nilo.
Papiro de Heidelberg G 4010 (Século IV d.C. – Universidade de Heidelberg, Alemanha): Um achado focado na logística militar. Ensina a calcular e distribuir rações de pão e vinho para os exércitos imperiais.
Papiro de Akhmim (P.Cairo 10758) (Séculos VII–VIII d.C. – Museu do Cairo, Egito): Compilação bizantina tardia que reúne dezenas de problemas aritméticos práticos e frações.
Óstracas Matemáticas (Vários Museus): Fragmentos de cerâmica e calcário reutilizados nas escolas antigas para exercícios rápidos de frações e contas do dia a dia e as Óstracas Matemáticas de Elefantina sobre a construção do Icosaedro regular.

Tradição Literária Clássica

Antologia Grega ou Palatina: Uma coleção de problemas e enigmas lúdico-algébricos (como as famosas adivinhas sobre as idades dos matemáticos) preservados através da cópia manual de manuscritos medievais.

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