Este tipo de problema, classicamente conhecido na literatura latina como divinatio numeri (adivinhação de um número), baseava-se em propriedades aritméticas e operatórias rigorosas. Neles, o adivinho orienta o participante a executar uma sequência de cálculos mentais para, no final, revelar o valor ocultado a partir de pistas como restos de divisões ou contagens posicionais.

Embora o objetivo do problema seja quase sempre o mesmo — descobrir um número oculto —, nem sempre ele foi enunciado da mesma forma e, ao longo do tempo, foram propostas estratégias de resolução bastante distintas. Vários contextos lúdicos foram criados em redor destas tarefas: adivinhar um número secreto, um dia da semana, o número de contas de um colar, as maçãs colhidas no jardim do rei ou a quantidade de moedas guardadas numa bolsa. Contudo, todas estas roupagens são apenas histórias contadas para encantar; a lógica subjacente é estritamente matemática.

A Origem Oriental e a Rota Medieval

A investigação de Johannes Tropfke (1980) aponta que a origem destes problemas de adivinhação provém originalmente do Oriente, tendo o mundo latino medieval tido contacto com estes problemas através da tradução dos textos em árabe. Um dos poucos testemunhos diretos dessa migração cultural encontra-se na obra Liber augmenti et diminutionis (um tratado cujo capítulo final foi também intitulado "Sobre Anéis"), o texto foi traduzido para latim por Gerardo de Cremona no século XII. Embora a autoria do texto seja complexa, ela é fortemente associada ao matemático Abū Kāmil (c. 850–930). O tratado surge, igualmente, associado ao nome de um autor conhecido como "Abraham" provavelmente um dos dois académicos judeus sefarditas: Abraham ibn Ezra (ca. 1090–1167) ou  Abraham bar Hiyya (c. 1065 – 1136) . Curiosamente, no subtítulo do próprio texto latino, atribui-se explicitamente esta ciência aos "sapientes Indi" (sábios indianos) — é provável que esta referência diga respeito a  Āryabhaṭa I, matemático indiano do século V, que como veremos descreve no seu livro Ganitapada uma das estratégias de resolver estes problemas. 

O nome peculiar "Sobre Anéis" deriva de antigos desafios práticos árabes e indianos onde o objetivo inicial era descobrir em qual dedo de uma pessoa, ou em que parte do corpo, um anel físico tinha sido ocultado, constituindo um tipo de jogo que também viria a ser descrito mais tarde por Fibonacci. Em sentido figurado, o número escondido na mente de alguém passou a ser tratado pelos mestres e calculistas precisamente como esse "anel" invisível que o adivinho tenta encontrar. 

Liber augmenti et diminutionis

Esta obra do século XII apresenta três problemas distintos de adivinhação. No segundo problema deste tratado, por exemplo, o texto das instruções chegou à Época Moderna corrompido, contendo uma famosa nota marginal nos próprios manuscritos medievais que adverte: dubia est regula de anulo (a regra do anel é duvidosa). Esta anotação demonstra que os próprios monges copistas da Idade Média sentiam imensas dificuldades em compreender ou transcrever fielmente os algoritmos originais que tinham diante de si. O terceiro problema do tratado, por sua vez, baseia-se num método de triplicações sucessivas e divisões por dois que replica exatamente a estrutura lógica encontrada noutros textos europeus antigos, como a célebre coletânea carolíngia do Pseudo-Beda.

O terceiro problema de adivinhação do manuscrito assenta na paridade e nas propriedades do número 9, dividindo-se o diagnóstico em dois caminhos analíticos conforme a resposta dada pelo participante:

Pensa num número qualquer e triplica-o. De seguida, deves declarar se o resultado obtido é um número par ou ímpar. Se o valor for ímpar, adiciona-se uma unidade para o tornar par, devendo o adivinho memorizar se o arranque foi par ou ímpar. O resultado desta operação é então dividido por dois, e o quociente dessa divisão deve ser novamente triplicado.

Neste ponto final, o adivinho interroga o participante: "Quantas vezes consegues subtrair o número 9 desse produto final? Podes ignorar qualquer resto que seja menor que 9." Se o número originalmente pensado no início do jogo fosse par, o segredo corresponderá exatamente ao dobro do número de vezes que o 9 foi subtraído. Se, pelo contrário, o número pensado originalmente fosse ímpar, o adivinho calcula o dobro do número de grupos de 9 e adiciona uma unidade ao total, revelando o número oculto sem margem para erro.

(citado por Hughes)

Métodos de Resolução

Como vimos no Liber augmenti et diminutionis são apresentados dois métodos completamente diferentes de resolução deste tipo de problemas, mas ao longo dos tempos existiram mais estratégias de resolução. Tenta-se aqui fazer uma classificação dessas técnicas.

1. Método da inversão aritmética (pensar de trás para a frente) 

Um dos registos mais antigos do método de cálculo inverso encontra-se na obra do matemático e astrónomo indiano Āryabhaṭa I (século V), concretamente nos versos 28 e 29 do Ganitapada. A regra fundamental descrita por Āryabhaṭa estabelece que, para inverter o processo, os papéis operatórios se invertem: 

Numa operação inversa, os multiplicadores tornam-se divisores e os divisores, multiplicadores; e uma quantidade aditiva torna-se subtrativa, e uma quantidade subtrativa torna-se aditiva. 

Para ilustrar este princípio, Āryabhaṭa apresenta problemas estruturados em cadeias de operações que desembocam num resultado final previsível (geralmente o número 1). Vejam-se dois exemplos clássicos resolvidos por regressão passo a passo: 

Primeiro Exemplo:

"Duas vezes uma dada quantidade, aumentada em um, dividida por cinco, multiplicada por três, novamente diminuída por dois, e dividida por sete, dá como resultado um. Quanto havia antes?"

Resolução por Inversão: Partindo do resultado final 1, desfazem-se as operações pela ordem inversa:

Dividir por 7 passa a ser Multiplicar por 7 (1 x 7 = 7).

Subtrair 2 passa a ser Adicionar 2 (7 + 2 = 9).

Multiplicar por 3 passa a ser Dividir por 3 (9/3 = 3).

Dividir por 5 passa a ser Multiplicar por 5 (3 x 5 = 15).

Adicionar 1 passa a ser Subtrair 1 (15 - 1 = 14).

Multiplicar por 2 passa a ser Dividir por 2 (14/2 = 7).

Resultado inicial: 7.

Segundo Exemplo:

"Três vezes uma quantidade, diminuída em um, reduzida a metade, aumentada em dois, novamente dividida por três, e depois diminuída em dois, resulta em um. O que havia antes?"

Resolução por Inversão:

Subtrair 2 passa a ser Adicionar 2 (1 + 2 = 3).

Dividir por 3 passa a ser Multiplicar por 3 (3 x 3 = 9).

Adicionar 2 passa a ser Subtrair 2 (9 - 2 = 7).

Dividir por 2 passa a ser Multiplicar por 2 (7 x 2 = 14).

Subtrair 1 passa a ser Adicionar 1 (14 + 1 = 15).

Multiplicar por 3 passa a ser Dividir por 3 (15/3 = 5).

Resultado inicial: 5.

O seguinte problema de adivinhação numérica, utilizando a mesma técnica, surge num texto bizantino do século XV (Tropfke, 1980):

Sobre como encontras um número que multiplicas por 12 e (depois) divides por 36, e cujo resultado dá 64. Faz assim: multiplica 36 por 64, e dá 2304, e esse é o tamanho do número que divides por 36, para que o quociente seja 64. Novamente, dizes que dividiste por 12. Agora divide 2304 por 12, e obténs 192, e esse será o próprio número, para que o multipliques por 12 e (depois) o dividas por 36, e o quociente seja 64.

Para ilustrar esse método com a notação matemática moderna, podemos traduzir o texto com uma equação simples: (x x 12)/36 = 64

A inversão passo a passo

1. Desfazer a Divisão: Se o número final após dividir por 36 é 64, multiplica-se ambos para encontrar o dividendo:  64 x 36 = 2304

2. Desfazer a Multiplicação: Se o número antes de ser multiplicado por 12 resultava em 2304, divide-se este valor por 12:   2304/12=192

Embora método de inversão permita chegar ao número pensado, o adivinho terá de fazer alguns cálculos que podem não ser nmuito rápidos para fazer por cálculo mental. Aparece outro método de resolução deste tipo de problemas mais simples e que recorrem a uma cálculo muito mais rápido que se designa aqui por Método da Projeção Posicional.

2. Método da Projeção Posicional 

O adivinho desenha uma sequência de operações dadas ao participante que servem para fazer deslocar a incógnita x (o número pensado) para uma casa decimal (dezenas ou centenas), restando ao adivinho apenas subtrair uma constante fixa e extrair o dígito posicional.

Folkerts (1971), num seu estudo sobre vários manuscritos medievais de autores anónimos salienta que muitos referiam um procedimento para determinar um dia da semana, que consiste em fazer com que a pessoa questionada multiplique sucessivamente o número pretendido de cabeça, por 2, 5 e 10. O adivinho pede que lhe digam o resultado e apenas precisa de determinar o algarismo das centenas.

Neste procedimento, que se resume à equação (2x x 5 x 10)/100 = x, as operações escolhidas pelo adivinho (x 2, x 5, x 10) são pensadas de forma a que o número escolhido x seja empurrado para a casa das centenas (100x). O adivinho nem sequer faz inversão passo a passo: limita-se a dizer o algarismo das centenas. 

Uma variante clássica deste tipo de problemas consiste em determinar a identidade de uma pessoa sentada à volta de uma mesa que ocultou um anel. Neste cenário, o número desconhecido x — representado pela distância, medida em lugares, entre o cúmplice e o indivíduo que detém o anel — é submetido a uma sequência de transformações operatórias.

Para contornar a ambiguidade direccional da contagem numa roda, o cúmplice indicava previamente o sentido físico do percurso. O algoritmo, tal como descrito no Cod. Par. suppl. gr. 2381, um manuscrito bizantino do século XIV atribuído a Nicholas Rhabdas (Acerbi, 2022), desenvolve-se do seguinte modo:

• O participante foca mentalmente a distância x, cujo valor é duplicado a pedido do adivinho, resultando em 2 x .

• Adiciona-se uma constante arbitrária fixa (neste caso, 11), obtendo-se 2x  + 11.

• Multiplica-se a totalidade da expressão por 5, gerando 5(2x  + 11).

• Por fim, o adivinho comanda a subtração da constante acumulada (55), simplificando a expressão algébrica para 5(2 x  + 11) - 55 = 10x.

Através desta projecção posicional, a incógnita  x  é directamente empurrada para a casa decimal superior (10x), restando ao adivinho extrair o resultado final para revelar a posição exacta do anel sem recorrer a inversões operatórias retrógradas.

Como estes processos era muito fácil de compreender, encontram-se mais frequentemente nos manuscritos dois métodos um pouco mais complicados: 

O manuscrito De arithmeticis propositionibus  (século IX) — um texto anónimo atribuído na Idade Média ao Venerável Beda e frequentemente designado por Pseudo-Beda — contém os registos ocidentais mais antigos destes jogos de adivinhação mental. Neste caso o problema serve para a determinação de um dia da semana.

Como se deve adivinhar em que dia da semana uma pessoa fez uma determinada coisa.

Quem conceber na mente o número que contém o nome de um dia da semana deve, primeiro, duplicá-lo; de seguida, deve somar cinco a esse número duplicado e multiplicar por cinco a soma obtida; depois, deve multiplicar o todo por dez e, finalmente, subtrair 250 ao total, retendo o que resta como o número do dia da semana.

Como, por exemplo, se se tratar do primeiro dia da semana [domingo], duplica-se um, o que faz 2; a estes somam-se 5, o que faz 7; estes 7 multiplicados por cinco fazem 35; estes 35 multiplicados por dez fazem 350; se a este total acumulado se subtrair 250, deve considerar-se diligentemente quantas centenas restaram, porque, como foi dito antes, uma centena significa o primeiro dia; duas centenas, o segundo; três centenas, o terceiro; quatro centenas, o quarto; cinco centenas, o quinto; seis centenas, o sexto; sete centenas, o sétimo.

Do mesmo modo, se se tratar do segundo dia da semana [segunda-feira], duplicam-se 2, o que faz 4. A estes somam-se 5, o que faz 9. Estes 9 multiplicados por cinco fazem 45; multiplicados por dez, fazem 450; subtraindo 250 a estes, restam 200, que significam o segundo dia da semana.

Se se tratar do terceiro dia da semana [terça-feira], duplicam-se 3, o que faz 6; a estes somam-se 5, o que faz 11; estes 11 multiplicados por cinco fazem 55; estes 55 multiplicados por dez fazem 550; subtraindo 250 a estes, restam 300, que significam o terceiro dia da semana.

Se se procurar a razão do quarto dia da semana [quarta-feira], duplicam-se 4, o que faz 8; a estes somam-se 7, o que faz 15; estes 15 multiplicados por cinco fazem 75; estes 75 multiplicados por dez fazem 750; subtraindo 250 a estes, restam 500, que significam o quinto dia da semana.

Se se inquirir sobre o sexto dia da semana [sexta-feira], duplicam-se 6, o que faz 12; a estes somam-se 5, o que faz 17; estes 17 multiplicados por cinco fazem 85; estes 85 multiplicados por dez fazem 850; subtraindo 250 a estes, restam 600, que significam o sexto dia da semana.

Se se inquirir sobre o sétimo dia da semana [sábado], duplicam-se 7, o que faz 14; a estes somam-se 5, o que faz 19; estes 19 multiplicados por cinco fazem 95; estes 19 multiplicados por dez fazem 950; subtraindo 250 a estes, restam 700, que significam o sétimo dia da semana.

Se confiares diligentemente este método à tua mente, poderás descobrir todos os dias da semana sem erro.

Nota: Ao traduzir este trecho, salta imediatamente à vista um erro clássico de cópia medieval no exemplo do quarto dia (quarta-feira). O texto diz para duplicar 4 (obtendo 8), mas em vez de mandar somar 5 (como manda a regra geral), o manuscrito diz: "a estes somam-se 7, o que faz 15". O copista incorreu num lapso de transcrição, dando continuidade ao cálculo com o valor 15 (15 x 5 = 75 ➝‬ 75 x10 = 750 ➝‬  750 - 250 = 500) e concluindo erradamente que o resultado correspondia ao quinto dia em vez do quarto. Além disso, o manuscrito salta por completo o exemplo correto do quinto dia, passando diretamente para o sexto.

Outro exemplo fundamental desta tipologia de projecção posicional é apresentado por Fibonacci no seu Liber Abaci (1202; trad. Sigler, 2003), semelhante ao primeiro problema de Liber augmenti et diminutionis. Embora partilhe a finalidade de isolar a incógnita x, a arquitectura do algoritmo difere ligeiramente das simplificações inversivas elementares. O adivinho instrui o participante a executar a seguinte cadeia operatória  ((2x + 5) x 5 +10) x 10 = 100x + 350 

Prescreves-lhe que duplique o número escolhido, e que ao dobro adicione 5, e que multiplique o total por 5, e que adicione 10 ao produto; que multiplique a soma que tem por 10, e perguntas-lhe quanto ele tem, e esse valor que ele tem guardas-o na tua memória; subtrais 350, e quantas centenas te restarem será o número de unidades na memória dele; e se algum número tiver deixado algo que seja inferior a 100, consideras que parte isso é de cem, e tal parte será da unidade que adicionas ao número inteiro que encontraste a partir das centenas que ele colocou antes na sua memória; e embora possamos dar instruções sobre este método para outros, estas são suficientes para o presente.

Ao exigir a subtração final da constante acumulada 350, a expressão simplifica-se directamente para 100x. Através desta engrenagem, o valor original x é empurrado rigorosamente para a ordem das centenas, permitindo a sua leitura directa sem necessidade de efetuar quais operações. 

Esta formulação específica — que reaparece idêntica em manuais posteriores como o Algorismus Ratisbonensis (c. 1450) — não é apenas um refinamento do problema de uma única incógnita. Ela representa a matriz estrutural para os algoritmos mais avançados que se seguiriam na tradição medieval e renascentista. 

Ao criar uma "gaveta decimal" na ordem das centenas (100x), a fórmula deixa o canal numérico aberto. Esta mecânica constitui a base concetual directa para a extensão do método a duas ou três incógnitas simultâneas, onde as dezenas (10y) e as unidades (z) passam a ocupar os espaços posicionais vagos deixados por este cancelamento de constantes. 

O método posicional e as adivinhações de objetos ocultos

Este algoritmo é utilizado a três aplicações práticas muito populares na matemática recreativa medieval:

• Os pontos de Três Dados

• A Descoberta do Anel

• O Círculo Marcado no Corpo

2. Aritmética Modular e Paridade (mod 9, mod 2) 

Como funciona: O uso de frações/restos de divisão por 2 guardados na memória do adivinho, combinados com contagens de grupos de 9.

Exemplos: O método do Pseudo-Beda, o problema do Aspron bizantino e os jogos de mãos (par ou ímpar) descritos por Rudolff.

O Testemunho Ocidental Mais Antigo 

O fólio De arithmeticis propositionibus (século IX), um manuscrito anónimo atribuído na Idade Média ao Venerável Beda (frequentemente denominado Pseudo-Beda), contém o registo ocidental mais antigo que se conhece destes jogos de adivinhação mental. O texto apresenta os procedimentos divididos em métodos passo a passo. O primeiro método surge exposto da seguinte forma:

Como se pode reconhecer qual é o número concebido na mente por qualquer pessoa.
1.º método: Tome-se um número qualquer e triplique-se. Uma vez triplicado, divida-se em duas partes. Se ambas as partes forem iguais, triplicarás novamente qualquer uma delas; se forem desiguais, triplica-se a parte que for maior. De seguida, observa-se quantas vezes o número 9 cabe nesse resultado final. Cada grupo de 9 vale 2 unidades para o cálculo mental do adivinho. Por fim, verifica-se se sobrou algum resto igual a 6 além dos grupos de 9. Se esse resto 6 existir, isso indica que o número original era ímpar, pelo que o adivinho soma mais 1 unidade ao total. A soma final revelará o número concebido na mente.

2.º método: Tome-se um número qualquer e triplique-se. Uma vez triplicado, divida-se em duas partes e interrogue-se o participante se a divisão deu partes iguais ou desiguais. Se for desigual (ímpar), o adivinho guarda 1 unidade na sua memória.

De seguida, toma-se a metade (se as partes forem iguais) ou a parte maior (se forem desiguais) e triplica-se novamente. Divide-se o resultado em duas partes e pergunta-se outra vez se deu igual ou desigual. Se for desigual, o adivinho guarda mais 2 unidades na sua memória.

Por fim, conta-se quantos grupos de 9 cabem nessa última metade (ou na parte maior). Para cada grupo de 9 encontrado, o adivinho soma 4 unidades ao total. A soma de todas as unidades acumuladas revelará o número concebido na mente.

No oitavo bloco do capítulo doze, Leonardo Fibonacci reúne as várias tradições de adivinhação numéricas da sua época, estruturando os jogos de acordo com as operações exigidas ao participante.

O primeiro método de Fibonacci (Adição da metade)

O participante guarda um número na memória. O adivinho ordena-lhe que adicione a metade desse número ao próprio número e, se a fração de metade ocorrer, deve arredondar para o número inteiro imediatamente superior. Do total obtido por estes dois números, ordena-se que repita o processo, adicionando novamente a sua metade e, se a fração de metade voltar a ocorrer, arredonde outra vez para o número inteiro maior.

Nesta fase, o adivinho pede ao participante que diga quantos noves (grupos de 9) estão contidos na soma final dos seus três números acumulados. Para o cálculo mental, o adivinho guarda 4 unidades por cada 9 indicado. Em seguida, avalia as posições onde ocorreram frações: se a fração de metade surgiu na primeira etapa, guarda 1 na memória; se surgiu na segunda etapa, guarda 2 na memória; se surgiu em ambas, guarda 3. Se nenhuma divisão gerou fração, guarda 0. Somando estas unidades ao valor dos grupos de 9, revela-se o número pensado. (Fibonacci ilustra este método com os exemplos dos números 1, 10, e 19).

O método alternativo por triplicação e divisão

Fibonacci apresenta logo a seguir uma variação operatória direta para o mesmo jogo: o participante multiplica o seu número secreto por 3 e divide o produto por 2. Se a fração de metade ocorrer no quociente, esta é descartada, e o valor que resta é novamente triplicado e dividido por 2, descartando-se outra vez a metade se ela surgir.

O adivinho interroga quantos noves cabem no quociente final, guardando 4 unidades por cada 9. O diagnóstico dos restos guardados na memória muda nesta variante: se a metade apareceu na primeira divisão, o adivinho guarda 3 na mente; se apareceu na segunda, guarda 2 na mente; se apareceu em ambas, guarda 1. A soma total revela instantaneamente o número escolhido.

Abade Albert de Stade, na Alemanha, também o incluiu na sua crónica histórica, Annales Stadenses (c. 1240), escrita em forma de diálogo entre dois jovens:

Era uma vez, na véspera de Natal, dois jovens instruídos, estudiosos e curiosos sentados a propor problemas um ao outro. Um chama-se Firri, o outro Tirri. E Firri acrescentou: "Vou dizer-te quantos pence tens na tua bolsa." Firri disse: "Eu sei o que tenho." E Tirri: "Adiciona duas vezes mais." Ele fê-lo. Novamente Tirri: "Retira metade." Ele retirou-a. E Tirri: "À metade restante, adiciona novamente duas vezes mais." Ele adicionou. Tirri disse: "Novamente retira metade." Novamente ele retirou-a. E Tirri: "Houve um obolus na primeira divisão?" "Não", disse Firri. Então Tirri: "Houve um na segunda?" Firri: "Não." "Sabes o que te resta?", perguntou Tirri. "Sei", respondeu ele. E Tirri: "Dá nove a Walter a partir do resíduo." "Eu dou", disse ele. Novamente Tirri: "Dá nove a Otto." "Não posso", disse Firri. Tirri acrescentou: "Tens quatro pence na tua bolsa." Firri respondeu: "Diz-me como lembrar isto."

Disse Tirri: "Pensa numa quantia, adiciona duas vezes mais a ela e divide, retirando metade. Tens um obolus na divisão?" — "Tenho." — "Faz com que seja um pence. Dá nove a Walter." — "Não posso." — "Então eu sei que tens três pence. E para te mostrar minuciosamente, um penny na primeira divisão dá um obolus, na segunda nenhum, e nove não podem ser dados. Dois pence dão um obolus na segunda divisão, na primeira nenhum, e 9 não podem ser dados. Três pence dão um obolus em cada divisão, e 9 não podem ser dados. Quatro tem um obolus em nenhuma das divisões, e 9 podem ser dados. Cinco, tal como o um, dá um obolus na primeira divisão, nenhum na segunda, mas 9 podem ser dados. Seis, tal como o dois, dá um obolus na segunda divisão, nenhum na primeira, e 9 podem ser dados. Sete, tal como o três, em ambas, e 9 podem ser dados. Oito, tal como o 4, em nenhuma, mas 9 podem ser dados duas vezes.

Assim se pode proceder até ao infinito, tendo o nove na divisão o mesmo comportamento que o um e o 5, o dez como o dois e o 6, o onze como o três e o 7, o doze como o quatro e o 8, e assim sucessivamente, exceto que para cada múltiplo de quatro, junta-se um nove. Por exemplo, pode-se dar 9 uma vez de 4 até oito, duas vezes de 8 até 12, três vezes de 12 até 16, quatro vezes de 16 até 20, e assim por diante. Outros números estão pelo meio, isto é, entre os múltiplos crescentes de quatro, conforme haja ou não obolus nas divisões. Pode-se deduzir como lidar com shillings, marks e pounds da mesma maneira."

Firri disse: "Eu considero isto de outra maneira. Pego num punhado de ervilhas, tantas quanto o número, e uso as ervilhas para dividir o número em três partes, e descarto o excesso, que não pode ser outro senão um ou dois. Divide o número [resultante] em três partes, trabalhando com a terceira parte de acordo com o modo já estabelecido de pence, e encontrando a terceira parte, conheço os dois restos, e aquilo que foi descartado, conheço também desta maneira."

Tirri disse: "Ando eu a considerar isto de outra maneira. Alinha três ou quatro ou mais homens e eu dou pence entre eles. 'Quem quiser, descarte', digo-lhes eu. Dou ao primeiro um, ao segundo dois, ao terceiro três, ao quarto quatro e assim sucessivamente. Feito isto, digo assim: 'Quem descartou pence, sabe bem quanto tinha. Adiciona a metade disto a isto e, se houver um obolus na adição, faz com que seja um penny. Novamente adiciona a metade daquilo que ele tem no total e, se isto tiver um obolus, faz com que seja um penny.' Por tal adição, e considerando os obolus, e o número de noves contidos, o número indicado acima ocorre-te. Se for encontrado um, o primeiro descarta pence, se dois, o segundo, se três, o terceiro, e assim por diante.

Obolus: Tratava-se de uma meia-moeda (meio penny). No jogo, representa o resto de 1/2 quando uma quantidade ímpar de moedas é dividida por dois.

3. Sistemas de Congruências (Teorema Chinês do Resto) (Regula Posicionis)

Como funciona: Aritmética modular pura, pedindo restos de divisões por números coprimos (3, 5, 7) e combinando-os com pesos fixos.

Exemplos: O Problema N.º 311 do Algorismus Ratisbonensis e as tabelas de Fibonacci no Liber Abaci.

No oitavo bloco do capítulo doze, Leonardo Fibonacci apresenta a seguinte resolução.

O método dos restos para números até 105

Este método baseia-se em congruências modulares puras. O adivinho pede ao participante que divida o número secreto por 3, por 5 e por 7, fornecendo apenas os restos de cada divisão. Para cada unidade de resto da divisão por 3, o adivinho calcula 70 na sua mente; para cada unidade de resto da divisão por 5, calcula 21 na sua mente; e para cada unidade de resto da divisão por 7, calcula 15.

O adivinho soma todos estes valores e, se o total acumulado exceder 105, vai subtraindo sucessivamente o número 105 até obter um resíduo final que corresponderá exatamente ao número pensado. Fibonacci demonstra o método com o exemplo do número 53 (onde o resto de 3 é 2, gerando 140, ao qual se retira 105 para restar 35; o resto de 5 é 3, gerando 63 que somado a 35 perfaz 98; e o resto de 7 é 4, gerando 60 que somado a 98 resulta em 158, subtraindo-se por fim 105 para revelar 53). Na secção seguinte, o autor expande a mesma lógica para números até 315, alterando os divisores para 5, 7 e 9, e os pesos das unidades de resto para 126, 225 e 280, respetivamente.

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