História da Matemática - história dos problemas

Papiro de Vindobonensis - Pirâmides triangulares e troncos de pirâmides triangulares

Esta secção explora o cálculo de volumes de estruturas piramidais presentes no papiro Vindobonensis G. 19996. Através dos Problemas 10, 12 e 13, o manuscrito eleva o desafio geométrico ao ensinar os estudantes a lidar tanto com pirâmides como pirâmides truncadas .

Ao contrário dos exercícios de prismas, onde a área da base é simplesmente estendida pela altura, o escriba introduz aqui a regra da terça parte para a obtenção do volume final da pirâmide. O método de resolução revela um nível avançado de geometria prática: para determinar a altura do sólido (que não é diretamente mensurável na peça real), o texto recorre de forma sistemática à regra da diagonal, interligando a aresta lateral inclinada com o raio do círculo que circunscreve a base triangular equilátera.

Problema 10: Pirâmide triangular com base regular (triângulo equilátero)

Dados: lado da base a = 12, aresta lateral s = 8

Resolução:

...e a aresta lateral 8 multiplicada por si mesma dá 64. Subtrai disso os 48, restando 16; extrai daí a raiz quadrada (o lado do quadrado), o que dá 4.
Tão grande é a altura.
Depois calcula um triângulo equilátero com lado 12, o que dá 62 e dois quintos.
Isto multiplicado pela altura da pirâmide 4 dá 249 e três quintos, de cuja terça parte resulta 83 e um quinto.
Tantos pés cúbicos terá a pirâmide.

Problema 12: Pirâmide triangular com base regular (triângulo equilátero)

Dados: lado da base a = 12, aresta lateral s = 7

Resolução:
...resta 1, cuja raiz quadrada [o lado do quadrado] dá 1. Tão grande é a altura. Depois calcula um triângulo equilátero, cujos lados são ambos 12; isto dá 62 e dois quintos, de cuja terça parte resulta 20 e quatro quintos. Isto multiplicado pela altura 1 dá 20 e quatro quintos. Tão grande é a coluna (o volume da pirâmide) .

Problema 13: Pirâmide triangular com base regular (triângulo equilátero)

Dados: lado da base inferior a = 18, lado da base superior b = 3, aresta lateral s = 10

Se for dado outro triângulo incompleto [tronco de pirâmide], cujo topo tem de lado 3, a base 18 e as arestas laterais 10 cada uma.

Resolução:
Subtrai a aresta de topo 3 de 18 restando 15; 15 multiplicado por si mesmo dá 225, de cuja terça parte resulta 75.
E 10 multiplicado por si mesmo dá 100. Subtrai disso os 75, restando 25, cuja raiz quadrada dá 5. Tão grande é a altura. Depois adiciona 3 e 18, o que dá 21 [...], de cuja metade resulta 10 e meio. Calcula um triângulo cujos lados são ambos 10 e meio, o que dá 47 e um meio e um quarto... Depois subtrai 3 de 18, restando 15, de cuja metade resulta 7 e meio. Calcula outro triângulo equilátero cujos lados são ambos 7 e meio, o que dá 25 e um oitavo, de cuja terça parte resulta 8 e dois quintos. Adiciona isto ao primeiro valor guardado (nomeadamente aos 47 e meio e um quarto), o que dá 56 e três vinzentos. Isto multiplicado pela altura 5 dá 280 e um meio e um quarto. Tantos pés cúbicos tem a pirâmide.

Nota: Tal como em quase todas as pirâmides e troncos de pirâmide desta coleção, os problemas tratam de pirâmides retas com a base sendo um triângulo equilátero e as arestas laterais conhecidas. Para encontrar a altura da pirâmide, o escriba recorre à regra da diagonal aplicada a um triângulo retângulo composto pela aresta lateral, a altura e o raio do círculo circunscrito à base.

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