Papiro de Vindobonensis - Prismas Triangulares e Trapezoidais
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Esta secção é dedicada ao estudo dos prismas retos com bases não retangulares —triângulos e trapézios —, presentes no rolo de papiro Vindobonensis G. 19996. Através dos Problemas 16, 17, 33 e 38, o manuscrito aumenta o nível de dificuldade dos exercícios anteriores, ensinando os estudantes a determinar o volume de blocos de pedra e colunas que, embora perfeitamente verticais, possuem bases com contornos e linhas inclinadas.
O método de resolução mantém a lógica prática da tradição babilónica: calcula-se primeiro a área da base (através da fórmula do triângulo ou pela decomposição do trapézio em retângulos e triângulos retângulos) para, logo em seguida multiplicar essa área pela sua espessura (a altura do prisma).
Problema 16: Prisma Triangular Reto (com base num triângulo qualquer)
Se for dado um corpo com um triângulo como superfície de base, tal como está desenhado em baixo, tendo a base 20, a altura 3 e a espessura 4.
Resolução:
Multiplica a base 20 pela altura 3, o que dá 60; metade disto faz 30.
Tão grande é a área da pedra; e multiplica isto pela espessura 4, o que dá 120.
Tantos pés cúbicos terá .
Problema 17: Prisma Triangular Reto
E uma outra figura... num prisma triangular, conforme a especificação que se extrai do compêndio (hypomnematismon) (sem valores explícitos no papiro).. Encontra o seu volume multiplicando a área da base (epiphaneia) pela espessura, tal como aprendeste, e declara o resultado.
Nota: O texto deste exercício está severamente danificado e fragmentado, não restando quaisquer dados numéricos ou desenhos na margem.
Este problema funcionava claramente como uma fórmula ou instrução geral. O texto utiliza a palavra hypomnematismon (compêndio, manual ou caderno de notas) para remeter o estudante para a teoria de apoio, instruindo-o de forma genérica:
«(...) tal como aprendeste, multiplica a área da base triangular pela espessura/altura do prisma e diz o resultado.»
É uma prova histórica de que o ensino da matemática na Antiguidade combinava a resolução de problemas práticos com a aplicação de regras gerais e manuais teóricos para o cálculo de volumes de prismas triangulares retos.
Problema 33: Prisma com Base Trapezoidal
trapézio (trapezeion)... [resultado:] 640
Nota: Deste problema, para além de um desenho geométrico complexo cujos números não formam um cálculo coerente, o texto legível preservou apenas a palavra trapezeion (trapézio) e o valor numérico final de 640.
Gerstinger e Vogel (1932) apontam que, não se tratando de um problema de geometria plana (planimetria), o contexto aponta para um sólido com uma base trapezoidal (um prisma), de forma semelhante ao que ocorre noutros problemas da coleção.
Geometricamente, as medidas registadas pelo aluno na figura são absurdas e impossíveis de construir na realidade. O estudante desenhou um retângulo central (sub-figura ②), mas atribuiu-lhe duas alturas diferentes: 16 do lado esquerdo e 8 do lado direito (quando num retângulo os lados opostos têm de ser rigorosamente iguais). Além disso, assumiu a simetria de um trapézio isósceles, mas escreveu uma base de 6 à esquerda e 20 à direita.
Este erro prova que o papiro não é um tratado de geometria teórica perfeita, mas sim um caderno de exercícios práticos copiados à pressa. Pensa-se que o aluno conhecia o resultado final correto (640) e tentou, sem sucesso, preencher as dimensões no esquema visual confundindo e duplicando os números durante a cópia.
Problema 38: Prisma em forma de "Cabeça de Touro" (com base num trapézio isósceles)
Se for dado um outro sólido em forma de cabeça de touro (boukephalon), construído sobre uma base trapezoidal isósceles. Encontra o seu volume.
Resolução:
Calcula a área da superfície plana do trapézio isósceles sabemos que a área é 64.
Multiplica esta área da base pela espessura correspondente assumindo uma altura de 9 e meio.
O resultado obtido para o volume total do sólido é de 608 pés cúbicos.
Nota: Embora as medidas exatas da base se tenham perdido devido aos graves danos físicos na Coluna 16 do papiro, sabemos com certeza que a figura é um trapézio isósceles porque o texto grego lhe chama explicitamente "Cabeça de Touro" (boukephalon). Esta designação refere-se à parecença visual que o prisma direito ganha quando assenta sobre o retângulo da base menor do trapézio, deixando as abas inclinadas abertas para cima, assemelhando-se aos chifres e ao contorno da cabeça de um touro.
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