História da Matemática - história dos problemas

Outros papiros escritos em demótico

Cleópatra VII

Museu do Louvre

O demótico foi uma escrita desenvolvida no Egito por volta de 700 a.C., que passou a ser utilizada predominantemente em textos de negócios, leis e literatura. Em contrapartida, a escrita hierática ficava reservada para textos religiosos e os hieróglifos continuavam a ser usados para registos monumentais em pedra e metal.

Um exemplo prático da aplicação desta escrita na matemática do quotidiano encontra-se num papiro de 194 a.C., conservado no Museu do Louvre. Trata-se de um contrato de empréstimo de cereal da dinastia Ptolemaica — cuja última faraó foi Cleópatra VII (69 a.C. - 30 a.C.), nascida em Alexandria. Este documento estipulava um período de empréstimo de 7 meses sem qualquer taxa; no entanto, se o cereal não fosse devolvido na data acordada, acrescia uma multa de 50% logo no mês seguinte.

Para ilustrar a matemática desta época, são apresentados a seguir os problemas práticos de três importantes papiros escritos em demótico: o BM 10399, o Heidelberg 663 e o BM 10520.

BM 10399

O primeiro papiro aqui apresentado é da época Ptolemaica (332 a.C. a 30 a.C.), não se sabe a sua origem, foi adquirido, em 1868, pelo Museu Britânico, onde se encontra atualmente, registado com o número 10399.

Este papiro tinha de largura 36,5 cm mas, uma vez que tanto a sua parte inicial como a final encontram-se perdidas, não se sabe ao certo o seu comprimento.

Problema 2
Dado um mastro de 100 cúbitos divinos de comprimento, o diâmetro da sua base tem 3 cúbitos divinos e o diâmetro do seu topo 1 cúbito divino. Qual é o seu volume?
Resolução
Somamos 1 do diâmetro do seu topo aos 3 do diâmetro da sua base: resultado 4.
Tomamos a metade: resultado 2.
Calculamos 2, duas vezes: resultado 4.
Tomaremos a sua ¼ , depois subtraímos a sua ¼ dele: sobrando 3.
Calculamos 100, três vezes por causa do comprimento do mastro, que é 100 cúbitos divinos: resultado 300.
Que é o número de (cúbitos cúbicos) do mastro.

(Parker, 1972)

Os três problemas que se lhe seguem são muito semelhantes, variando apenas a altura do mastro, sendo atribuído ao mastro sucessivamente 90, 80 e 70 cúbitos.

Problema 6
É te dito: ¹⁄₅ é a adição, qual é a subtracção? [Ou seja, a fracção ¹⁄₅ é adicionada a 1, obtendo-se 1+¹⁄₅ , determinar que fracção de 1+¹⁄₅ deve ser subtraída deste valor para dar 1]
Solução: ¹⁄₆

(Parker, 1972)

Os cinco problemas que se seguem a este são, também, muito semelhantes, a fração de que se parte é que varia, sendo estas: ¹⁄₆ , ¹⁄₇ , ¹⁄₈ , ¹⁄₉ e ⅚.

Heidelberg 663

Este segundo papiro data igualmente da época Ptolemaica (332 a.C. a 30 a.C.) e contém quatro problemas. Cada um deles envolve a decomposição de um trapézio isósceles através de linhas horizontais. Este trapézio tem uma base maior de 18, uma base menor de 2 e uma altura de 6; os dois lados com o mesmo comprimento medem 10 (Parker, 1975).

Problema 2
O trapézio deve ser dividido por duas linhas horizontais em três porções de tal forma que essas porções tivessem 30, 18 e 12 aroucas (setat). Aparentemente, o objetivo do problema era determinar o comprimento das linhas horizontais.
Solução: 8+ ¼ e 12 +¹⁄₂ + ¼ + ¹⁄₁₆

Problema 3
Consiste na determinação da altura de cada uma das três porções em que ficou decomposto o trapézio.

(Parker, 1975)

BM 10520

Este terceiro papiro, também escrito em demótico, é do início do período Romano (30 a.C. a 395 d.C.) e encontra-se no Museu Britânico, registado com o número 10520. De origem desconhecida, o manuscrito tem 7,545 metros de comprimento por 25 cm de largura, contendo 13 questões matemáticas numa das suas partes.

A maior parte destas questões envolve apenas operações simples de multiplicação, divisão, subtração ou adição entre dois números. Contudo, o papiro destaca-se por incluir dois problemas sobre a extração da raiz quadrada e outros dois dedicados ao cálculo da área de terrenos, a partir de dois dos seus lados.

Problema 1
1 é preenchido duas vezes até 100.
Nota: Corresponde a determinar a soma dos termos de 2 a 20 de uma progressão aritmética de razão 2.
Resolução
Deve dizer: "1 a 10 dá 55".
A forma de o fazer:
Calcula 10, 10 vezes: resultado 100.
Adiciona 10 a 100: resultado 110.
Tira 1/2: resultado 55.
Deve dizer: "1 a 10 dá 55".
Deve adicionar 2 a 10: resultado 12.
Deve tirar ¹/₃ de 12: resultado 4.
Deve calcular 4, 55 vezes: resultado 220.
Deve dizer: "1 é preenchido duas vezes até 10: resultado 220".

Problema 12
Dada uma porção de terra de 12 cúbitos por 10 cúbitos, determina a sua área.
Resolução
Deves adicionar o norte e o sul e dizer: [resultado] 20. A sua metade, 10.
Deves adicionar o este e o oeste: [resultado] 24. A sua metade, 12.
Deves contar 10, [12] vezes: resultado 120.
...

Problema 13
Dado um terreno de 1+¹⁄₂ por 2 + ¼, determina a sua área.
Resolução
Deves adicionar o norte e o sul dizer: [resultado] 3. A sua metade, 1+¹⁄₂.
Deves adicionar o este e o oeste: [resultado] 4+ ¹⁄₂. A sua metade, 2+ ¼.
Deves contar 2+ ¼, 1+ ¹⁄₂ vezes: resultado 3+ ¼+ ¹⁄₈ .

( Parker, 1972)

Page updated

Google Sites

Report abuse