A investigação de Menso Folkerts (2018) mostra que se trata da obra de um autor anónimo, razão pela qual é frequentemente denominado Pseudo-Beda. O próprio Beda nunca mencionou esta obra na lista detalhada de escritos que incluiu no final da sua história eclesiástica, e nenhum dos 19 manuscritos medievais conhecidos cita o seu nome como autor. A análise destes manuscritos indica que a obra foi escrita entre o final do século VIII e o século IX. Dez dos manuscritos têm estreita ligação com os trechos de enciclopédias computísticas datadas de 809 e 818, cuja origem remonta diretamente à corte de Carlos Magno em Aachen. Os exemplares mais antigos pertencem precisamente ao século IX, destacando-se o manuscrito de Berlim (Phillipps 1832), copiado na região de Metz, e o manuscrito de Paris (lat. 5543), escrito por volta do ano 847 no mosteiro de Fleury.

A Estreita Ligação com Alcuíno de York

Outra grande descoberta de Menso Folkerts (2018) é que este tratado surge copiado muitas vezes junto das Propositiones ad Acuendos Juvenes, atribuídas a Alcuíno de York. Em pelo menos seis dos manuscritos mais importantes (incluindo o fólio Burney 59 da Biblioteca Britânica e o Clm 14689 da Biblioteca Estatal da Baviera, em Munique), o texto do Pseudo-Beda aparece imediatamente antes ou logo após a coleção de Alcuíno.

Esta proximidade física dá a ideia de que os dois textos pertenciam ao mesmo ambiente pedagógico do Renascimento Carolíngio, altura em que Carlos Magno, que unificara o novo Império Romano do Ocidente, convidou Alcuíno em 782 para reformular o ensino na sua corte. Os manuscritos eram utilizados nas escolas monásticas; o texto original que continha apenas os primeiros problemas de adivinhação foi sofrendo acrescentos por diferentes copistas ao longo dos séculos IX e XI, funcionando como um texto de matemática escolar.

Jogos de Adivinhação e o Pioneirismo dos Números Negativos 

O conteúdo do De arithmeticis propositionibus divide-se em quatro secções, afastando-se da matemática teórica e formal das traduções em latim da época medieval. As três primeiras partes fornecem procedimentos e regras para descobrir números pensados por outra pessoa (jogos de adivinhação mental do tipo "pensa num número..."). Era pedido ao leitor que triplicasse um número concebido, dividisse o resultado em duas partes e fizesse operações simples. Através de pistas baseadas na igualdade ou desigualdade dessas partes e na contagem de restos, o leitor conseguia desvendar o número original. Estes jogos de adivinhação mental aparecem descritos na Europa Ocidental pela primeira vez neste manuscrito, tornando-se mais tarde um problema comum nas aritméticas e na matemática recreativa até à Idade Moderna.

O aspeto mais revolucionário do tratado reside na sua quarta e última secção, que apresenta regras formais para a adição de números positivos e negativos. Contudo, como demonstra Menso Folkerts (2018), esta passagem não tem qualquer ligação temática com os três métodos anteriores, sendo muito provável que tenha sido originalmente um pequeno texto isolado e sem título que, por mero acaso físico no manuseamento dos códices, acabou por ser transcrito de forma contínua pelos copistas franceses o mais tardar no século IX. Ainda assim, Folkerts sublinha o caráter extraordinário deste trecho adicionado, uma vez que não existe absolutamente nenhum outro texto semelhante em toda a Europa Ocidental antes do século XV; regras comparáveis com quantidades negativas só eram conhecidas, até à data, em fontes muito distantes da Índia e da China.

Problema 1

Como se pode reconhecer qual é o número concebido na mente por qualquer pessoa.

1.º método

Tome-se um número qualquer e triplique-se. Uma vez triplicado, divida-se em duas partes; se ambas se apresentarem iguais, triplicarás novamente qualquer uma delas, sem qualquer diferença. Se, pelo contrário, forem desiguais, triplique-se a parte que for maior.

E observe-se quantas vezes o 9 pode ser encontrado nela, depois de ter sido triplicada. Pois, tantas vezes quantas tiver o 9, tantas vezes se devem tomar 2 unidades.

Deve observar-se também que, depois de o número ser triplicado e dividido, e de a metade ter sido novamente triplicada, e de se ter perguntado sobre o nove, se junte também isto: se sobrou algum resto além de um, de dois, ou de quantos grupos de 9 restassem. Porque, se sobrou algum resto, indica que os números divididos eram desiguais [o número original era ímpar]; e, a partir deste resto, deve tomar-se 1 unidade. Reunindo estes valores na soma total, deve pronunciar-se o número que tinha sido primeiramente concebido na mente.

Por exemplo, se o número 2 tiver sido concebido na mente: quando for triplicado, faz 6; o 6, dividido, resolve-se em 3 e 3; o 3, triplicado, resulta exatamente em 9, e não sobra qualquer resto. Portanto, foram 2 as unidades primeiramente compreendidas na mente.

E, por isso, em toda a lógica deste cálculo, o resultado 9 significa sempre dois, e o resultado 6 significa um. E deve saber-se que todo o número ímpar que tiver sido escolhido e, na ordem que foi dita, triplicado e dividido, termina num resultado 6. Por sua vez, o número par termina num resultado 9; pois a unidade, triplicada e dividida segundo o modo acima dito, gera o 6. E o número dois, triplicado e dividido de modo semelhante, gera o 9. Porque estes dois números, ou seja, o um e o dois, são considerados os princípios do par e do ímpar.

Explicação do método - dividindo-o em dois casos possíveis: se o número pensado é par ou se é ímpar.

a) Se x  é Par (x = 2n):

Forma-se 2n. 2n x 3 = 6n;  6n = 3n + 3n;  3n x 3 = 9n; 9n/9 = n com resto 0; portanto 2n = x.

b) Se x é Ímpar (x  = 2n + 1):

Forma-se 2n + 1;  (2n + 1) x 3 = 6n + 3;  6n + 3 = (3n + 1) + (3n + 2). Toma-se (3n + 2); (3n + 2) x 3 = 9n + 6;  (9n + 6)/9 = n com resto 6; portanto 2n + 1 = x.

2.º método

Tome-se um número qualquer e triplique-se.

Uma vez triplicado, divida-se em duas partes e, então, interrogue-se aquele que concebeu o número na mente se a divisão desse mesmo número é igual. Se ele responder que ambas as partes são iguais [o número original era par], nada se toma. Se, pelo contrário, disser que são desiguais [o número original era ímpar], toma-se uma unidade nesta primeira divisão, para a memória daquele que adivinha.

E, novamente, uma das partes da divisão, quando ambas tiverem sido iguais, será triplicada sem qualquer diferença. Se, por outro lado, tiverem sido desiguais, deve triplicar-se a parte maior e dividi-la, tal como acima, em duas partes.

E deve interrogar-se de novo se a divisão obtida é igual ou desigual. Se tiver sido igual, nada se deve tomar. Se, contudo, tiver sido desigual, devem tomar-se duas unidades nesta segunda divisão.

E se a metade da divisão tiver sido igual, deve interrogar-se, sem qualquer diferença entre as partes, quantos novenários [grupos de 9] estão contidos nela. Se tiver sido desigual, deve procurar-se na parte maior. Tantos quantos forem os novenários que nela se encontrarem, tantas vezes quatro unidades o adivinho deve tomar para si.

Como, por exemplo, se o número seis tiver sido concebido na mente: quando for triplicado, faz 18; o 18, dividido, reparte-se em 9 e 9. E porque a divisão é igual, nada se deve tomar aí. O nove, por sua vez, que é a metade desta divisão, triplicado faz 27; o 27, dividido, resolve-se em 13 e 14. E porque esta é a segunda divisão e é desigual, devem tomar-se duas unidades. Além disso, na parte maior dessa mesma divisão, isto é, no 14, deve procurar-se quantas vezes o 9 pode ser encontrado; em 14 há uma vez o 9. Destes 9, 4 unidades devem ser recolhidas pelo adivinho, as quais, juntas às duas unidades que foram recolhidas na segunda divisão, fazem 6. Portanto, o seis foi o primeiro número compreendido na mente.

E deve notar-se nesta explicação que, se ambas as divisões corresponderem à paridade [forem iguais], nada se toma delas. Se a segunda for desigual, tomam-se duas unidades. O novenário, na verdade, contém a significação de quatro unidades. A razão pela qual nesta contagem as coisas parecem acontecer de forma diferente da anterior é esta: esta regra triplica duas vezes e divide duas vezes, ao passo que a anterior triplica duas vezes e divide apenas uma vez. Por essa razão, nesta regra o novenário significa quatro unidades, e nada significa duas unidades.

Explicação do método - dividindo-o nos quatro casos possíveis: conforme o resto de x na divisão por 4 

a) Se x = 4n:

A série é 4n, 12n, 6n (nota 0), 18n, 9n (nota 0), n com resto 0, portanto 4n + 0 + 0 = x.

b) Se x = 4n + 1:

A série é 4n + 1, 12n + 3, 6n + 2 (nota 1), 18n + 6, 9n + 3 (nota 0), n com resto 3, portanto 4n + 1 + 0 = x.

c) Se x = 4n + 2:

A série é 4n + 2, 12n + 6, 6n + 3 (nota 0), 18n + 9, 9n + 5 (nota 2), n com resto 5, portanto 4n + 0 + 2 = x.

d) Se x = 4n + 3:

A série é 4n + 3, 12n + 9, 6n + 5 (nota 1), 18n + 15, 9n + 8 (nota 2), n com resto 8, portanto 4n + 1 + 2 = x.

Problema 2

Como se deve adivinhar em que dia da semana uma pessoa fez uma determinada coisa.

Quem conceber na mente o número que contém o nome de um dia da semana deve, primeiro, duplicá-lo; de seguida, deve somar cinco a esse número duplicado e multiplicar por cinco a soma obtida; depois, deve multiplicar o todo por dez e, finalmente, subtrair 250 ao total, retendo o que resta como o número do dia da semana.

Como, por exemplo, se se tratar do primeiro dia da semana [domingo], duplica-se um, o que faz 2; a estes somam-se 5, o que faz 7; estes 7 multiplicados por cinco fazem 35; estes 35 multiplicados por dez fazem 350; se a este total acumulado se subtrair 250, deve considerar-se diligentemente quantas centenas restaram, porque, como foi dito antes, uma centena significa o primeiro dia; duas centenas, o segundo; três centenas, o terceiro; quatro centenas, o quarto; cinco centenas, o quinto; seis centenas, o sexto; sete centenas, o sétimo.

Do mesmo modo, se se tratar do segundo dia da semana [segunda-feira], duplicam-se 2, o que faz 4. A estes somam-se 5, o que faz 9. Estes 9 multiplicados por cinco fazem 45; multiplicados por dez, fazem 450; subtraindo 250 a estes, restam 200, que significam o segundo dia da semana.

Se se tratar do terceiro dia da semana [terça-feira], duplicam-se 3, o que faz 6; a estes somam-se 5, o que faz 11; estes 11 multiplicados por cinco fazem 55; estes 55 multiplicados por dez fazem 550; subtraindo 250 a estes, restam 300, que significam o terceiro dia da semana.

Se se procurar a razão do quarto dia da semana [quarta-feira], duplicam-se 4, o que faz 8; a estes somam-se 7, o que faz 15; estes 15 multiplicados por cinco fazem 75; estes 75 multiplicados por dez fazem 750; subtraindo 250 a estes, restam 500, que significam o quinto dia da semana.

Se se inquirir sobre o sexto dia da semana [sexta-feira], duplicam-se 6, o que faz 12; a estes somam-se 5, o que faz 17; estes 17 multiplicados por cinco fazem 85; estes 85 multiplicados por dez fazem 850; subtraindo 250 a estes, restam 600, que significam o sexto dia da semana.

Se se inquirir sobre o sétimo dia da semana [sábado], duplicam-se 7, o que faz 14; a estes somam-se 5, o que faz 19; estes 19 multiplicados por cinco fazem 95; estes 19 multiplicados por dez fazem 950; subtraindo 250 a estes, restam 700, que significam o sétimo dia da semana.

Se confiares diligentemente este método à tua mente, poderás descobrir todos os dias da semana sem erro.

Nota: Ao traduzir este trecho, salta imediatamente à vista um erro clássico de cópia medieval no exemplo do quarto dia (quarta-feira). O texto diz para duplicar 4 (obtendo 8), mas em vez de mandar somar 5 (como manda a regra geral), o manuscrito diz: "a estes somam-se 7, o que faz 15". O copista baralhou-se, continuou a conta usando o 15 (15 x 5 = 75 ➝‬ 75 x10 = 750 ➝‬  750 - 250 = 500) e concluiu que o resultado significava o quinto dia em vez do quarto! Além disso, o manuscrito salta por completo o exemplo correto do quinto dia, passando diretamente para o sexto. 

Explicação do método: o procedimento decorre da identidade [(2x + 5) x 5 x 10 - 250] / 100 = x.

4.ª parte - Outro argumento semelhante.

O verdadeiro com o verdadeiro faz o verdadeiro. O menos com o verdadeiro faz o verdadeiro. O verdadeiro com o menos faz o menos. O menos com o menos faz o menos. O verdadeiro significa a essência, e o menos significa o nada.

Coloca a soma do número que quiseres sob o nome do verdadeiro, isto é, da essência, e coloca outra soma do número que quiseres sob o advérbio que se chama menos, cujo nome disse significar o nada, e compara essas duas somas. A que for maior vence a menor, e consome-a de acordo com a magnitude da sua quantidade.

Como, por exemplo, se se juntarem duas somas de números, e uma for chamada pelo nome do verdadeiro, isto é, da essência, como são 7, e a outra for chamada pelo nome do advérbio menos, como são 3; estas duas somas de números comparadas entre si, isto é, do existente e do não existente, porque a soma do verdadeiro é maior do que aquela que se chama menos: assim como 7 verdadeiro são mais do que 3 menos, a parte maior vence por 4, pois 3 menos anulam 3 de 7, e restam 4 verdadeiro.

Da mesma forma, se se juntarem 3 sob o nome do verdadeiro e 7 menos, porque a soma do nada é maior do que a da essência, o sete não existente vence o três subsistente, e consome-o com a sua não essência, restando para si próprio 4 números não existentes; e isto é o que se diz: junta 3 verdadeiro e 7 menos, fazem 4 menos.

Se, por outro lado, 3 números não existentes e 7 números igualmente não existentes [fossem como] 7 e 3 verdadeiro, eles produziriam um número existente, isto é, o dez. Mas assim, duas somas denominadas de números não existentes, como são 3 menos e 7 menos, fazem 10 menos. Pois o verdadeiro vale para produzir, e o menos para não produzir.

Junta 3 menos e 7 verdadeiro, fazem 10 [Nota: erro do copista, deveria ser 4 verdadeiro]; de novo junta 3 menos e 7 verdadeiro, fazem 4 verdadeiro; junta 3 verdadeiro e 7 menos, [fazem 4 menos]; junta 3 menos e 7 menos, fazem 10 menos.

Podemos traduzir os conceitos medievais desta 4.ª parte para a álgebra moderna da seguinte forma:

• O Verdadeiro (Verum) representa as quantidades positivas (+).

• O Menos (Minus) representa as quantidades negativas (-).

A lógica descrita no tratado equivale à operação de adição no conjunto dos números inteiros (positivos e negativos), onde o resultado depende dos sinais e dos valores absolutos das parcelas:

a) Sinais contrários, com positivo maior (+7 com -3):

A operação é dada por:

7 + (-3) = 4

A quantidade positiva supera a negativa, resultando em 4 verdadeiro.

b) Sinais contrários, com negativo maior (+3 com -7):

A operação é dada por:

3 + (-7) = -4

A quantidade do nada supera a da essência, consumindo-a e resultando em 4 menos.

c) Sinais iguais, ambos negativos (-3 com -7):

A operação é dada por:

(-3) + (-7) = -10

A junção de duas somas não existentes acumula-se sob a mesma natureza, resultando em 10 menos.

Texto latino original consultado a partir da edição digital da Patrologia Latina no Corpus Corporum da Universidade de Zurique (idno: 8404) 

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