História da Matemática - história dos problemas

Travessias

O lobo a cabra e a raposa

Um lobo, uma cabra e uma couve têm de atravessar um rio num barco que transporta um de cada vez, incluindo o barqueiro. Como é que o barqueiro os levará para o outro lado de forma que a cabra não coma a couve e o lobo não coma a cabra?

Como é evidente neste problema, o lobo não pode ser deixado sozinho com a cabra, nem a cabra com a couve.

Ilustração do manuscrito Ormesby Psalter do séc. XIII (Oxford, Bodleian Library MS Douce 366, fol. 89r )

A primeira versão escrita do problema

A primeira versão escrita deste problema é atribuída a Alcuino de York (732 - 804) (Problema 18 de Propositiones ad Acuendos Juvenes, século IX).

Na sua resolução, Alcuino começa por transportar a cabra, depois volta para transportar o lobo para a outra margem, trazendo a cabra de volta, depois leva a couve, voltando por fim para vir buscar a cabra.

O problema na cultura popular

Segundo Marcia Ascher (1991), o problema encontra-se sob a forma de enigma popular em várias culturas: gaulesa, russa, italiana, romana, saxónica, americana, africana. De acordo com cada uma das culturas, as personagens do problema variam.

O problema deve ter chegado à América via Europa mas neste país as personagens mudam, os elementos transformam-se em ambiente de quinta/fazenda. O problema aparece da seguinte forma num tratado de aritmética do século XVIII:

A raposa, o ganso e o cesto de milho

Um fazendeiro tinha de atravessar o rio com uma raposa, um ganso e um cesto de milho. O seu barco só podia transportar um objeto além do homem. Quantas viagens é que ele fez?

Marcia Ascher (1991) dá-nos conta de várias versões do folclore africano, das personagens da sua história e de outras pequenas alterações, eis alguns exemplos:

Cabo Verde – as personagens são um lobo, uma cabra e uma couve;
Camarões – as personagens são um tigre, um carneiro e uma braçada de junco, o rio é substituído por uma ribeira, e o meio de passagem deixa de ser um barco para passar a ser um tronco de árvore;
Libéria – as personagens são um leopardo, um bode e um feixe de folhas de mandioca; mas o barco transporta além do barqueiro dois objetos.

Ascher (1991) foi quem trouxe a público outras versões que quebram o modelo clássico, seja mudando a quantidade de objetos e a capacidade do barco, seja aplicando o bom senso humano.

Argélia – as personagens são um chacal, uma cabra e uma molho de feno, mas neste caso o barco pode transportar dois objetos além do barqueiro;
Zâmbia – os objetos a transportar no barco passam a ser quatro: um leopardo, uma cabra, um rato e um cesto de grãos de kafir; mas o barco só pode transportar um objeto além do barqueiro. Ao aumentar o número de objetos de 3 para 4, o problema torna-se impossível; na tradição oral, o homem acaba por desistir de atravessar o rio;
Quénia – a versão é bem diferente das anteriores. Nela três homens casaram recentemente. Os três casais querem atravessar o rio para ir ao mercado. O barco só pode transportar duas pessoas. Mas nenhum dos homens quer deixar a sua mulher com outro homem, nem no barco nem na praia. Todos os homens e mulheres sabem remar.

A seguinte variante russa do século XX foi publicada na famosa edição de Martin Gardner, The Moscow Puzzles: 359 Mathematical Recreations:

Três soldados e dois rapazes

Três soldados têm de atravessar um rio que não tem ponte. Dois rapazes concordaram em ajudar os soldados, Mas o barco é tão pequeno que só dá para um soldado ou para os dois rapazes. Um soldado e um rapaz não podem estar no barco ao mesmo tempo. Dado que nenhum dos soldados sabe nadar, parece que nestas circunstâncias apenas um soldado consegue atravessar o rio. No entanto, os três soldados acabam por conseguir atravessar o rio e devolvem o barco aos rapazes. Como é que conseguiram?

Puzzle vendido por Rudolf Ackermann em Londres, entre 1798-1826, o envelope continha as figuras do lobo da cabra e da couve e dos três maridos ciumentos e as suas mulheres, assim como o barco.

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