0301 Matrices

원문 : http://catlikecoding.com/unity/tutorials/rendering/part-1/

[ 1. Visualizing Space ]

• 메시의 공간상의 변형(Translation, Rotation, Scale)은 정점에 의해서 다루어짐

• 우리는 3D Grid를 통해 이를 확인해 볼 예정임

• Menu : GameObject -> Create Empty

  • Name : TransformationGrid

• Script 생성

  • Name : TransformationGrid

using UnityEngine; public class TransformationGrid : MonoBehaviour { public Transform prefab; public int gridResolution = 10; Transform[] grid; void Awake () { grid = new Transform[gridResolution * gridResolution * gridResolution]; for (int i = 0, z = 0; z < gridResolution; z++) { for (int y = 0; y < gridResolution; y++) { for (int x = 0; x < gridResolution; x++, i++) { grid[i] = CreateGridPoint(x, y, z); } } } } }

• • 점을 생성하는 프리 팹을 인스턴스화하고 좌표를 결정하며 고유 한 색을 지정

Transform CreateGridPoint (int x, int y, int z) { Transform point = Instantiate<Transform>(prefab); point.localPosition = GetCoordinates(x, y, z); point.GetComponent<MeshRenderer>().material.color = new Color( (float)x / gridResolution, (float)y / gridResolution, (float)z / gridResolution ); return point; }

• • 회전과 스케일링과 같은 변형을 위해 그리드 큐브의 중간 점을 기준으로 할 수 있도록 한다.

Vector3 GetCoordinates (int x, int y, int z) { return new Vector3( x - (gridResolution - 1) * 0.5f, y - (gridResolution - 1) * 0.5f, z - (gridResolution - 1) * 0.5f ); }

• Transformation.cs 드래그 >> (to) TransformationGrid(GameObject)

• 정점에서 사용할 프리팹으로 Cube 이용

  • Menu : GameObject >> 3D Object >> Create Cube

    • Scale(0.5, 0.5, 0.5)

  • Cube 프리펩 생성

    • Cube 드래그 >> (to) Project Window

[ 2. Transformation ]

• Transformation 컴포넌트 만들기

  • 여러가지 변형이 있을 수 있지만, 제한적으로 위치이동, 회전, 크기 조절만을 위한 컴퍼넌트 만들기

  • Transformation 클래스를 만들고, 변형 클래스들(PositionTransformation, ScaleTransformation, RotationTransformation)이 상속 받을 예정

    • Apply()라는 가상 함수를 만들어 각각의 역할을 담당하게 만들 예정

  • Script 생성 : Transformation.cs

using UnityEngine; public abstract class Transformation : MonoBehaviour { public abstract Vector3 Apply (Vector3 point); }

• • • 변형(translate, rotation, scale)들을 하나로 묶을 수 있도록(상속 받을 수 있도록) 기본 구성 요소를 만듭니다.

    • 추상 클래스로 구현하고 Apply()함수는 구체적인 변환 구성 요소가 작업을 수행하는 데 사용되는 추상 메소드를 제공

• TransforamtionGrid 수정

  • List를 사용하여 변형이 되는 요소(translate, rotation, scale)를 담을 수 있도록 함

using UnityEngine; using System.Collections.Generic; public class TransformationGrid : MonoBehaviour { … List<Transformation> transformations; void Awake () { … transformations = new List<Transformation>(); } }

void Update () { GetComponents<Transformation>(transformations); for (int i = 0, z = 0; z < gridResolution; z++) { for (int y = 0; y < gridResolution; y++) { for (int x = 0; x < gridResolution; x++, i++) { grid[i].localPosition = TransformPoint(x, y, z); } } } }

• • 각 포인트를 변환하는 것은 원래 좌표를 가져온 다음 각 변환을 적용하여 수행

  • 여기서는 매 프레임마다 변형을 축적하지 않고 수행하게 됨

Vector3 TransformPoint (int x, int y, int z) { Vector3 coordinates = GetCoordinates(x, y, z); for (int i = 0; i < transformations.Count; i++) { coordinates = transformations[i].Apply(coordinates); } return coordinates; }

[ 2.1 Translation 이동구현]

• Transformation로컬 오프셋으로 사용할 위치를 확장하는 새로운 구성 요소(Translation)를 만듬

• Script 생성 : PositionTransformation.cs

using UnityEngine; public class PositionTransformation : Transformation { public Vector3 position; // Apply 가상함수를 재정의 public override Vector3 Apply (Vector3 point) { return point + position; } }

• PositionTransformation.cs 드래그 >> (to) TransformationGrid(Object)

[ 2.2 Scaling ]

• Scaling 요소 만들기

• Script 생성 : ScaleTransformation.cs

using UnityEngine; public class ScaleTransformation : Transformation { public Vector3 scale; public override Vector3 Apply (Vector3 point) { point.x *= scale.x; point.y *= scale.y; point.z *= scale.z; return point; } }

PositionTransformation.cs 드래그 >> (to) TransformationGrid(Object)

• Scale Transformation과 Position Transformation 위치 바꾸기

  • 포지셔닝과 스케일링을 동시에 시도하는 경우 원하지 않는 출력이 생성(Position이 진행되고, Scale이 진행되면 원점으로 부터의 상대 거리만큼을 Scale 하기 때문에 문제가 생김)

    • 컴포넌트의 구성 요소의 순서를 변경함으로써 이를 해결

[ 2.3 회전 ]

• Rotation 요소 만들기

• Script 생성 : RotationTransformation.cs

  • 우선은 단순하게 z축을 기준으로만 회전할 수 있도록 하자.

using UnityEngine; public class RotationTransformation : Transformation { public Vector3 rotation; public override Vector3 Apply (Vector3 point) { // Mathf.Deg2Rad : Degree를 Radian으로 바꿔줌 float radZ = rotation.z * Mathf.Deg2Rad; float sinZ = Mathf.Sin(radZ); float cosZ = Mathf.Cos(radZ); return new Vector3( point.x * cosZ - point.y * sinZ, point.x * sinZ + point.y * cosZ, point.z ); } }

• • Unity는 왼손 좌표계를 사용하므로 반 시계 방향으로 이동

• 삼각함수를 이용한 회전을 위해 Degree를 Radian으로 변환하고 이를통해 회전 결과를 얻음

  • • 라디안 참고 : http://www.scienceall.com/%EB%9D%BC%EB%94%94%EC%95%88radian/

• RotationTransformation.cs 드래그 >> (to) TransformationGrid(Object)

• • Rotation Transformation도 Position Transformation보다 위쪽에 위치할 수 있도록 함

[ 3 Full Rotations ]

• 3개의 축(x,y,z) 회전 구현

[ 3.1 Matrices ]

• Matrices를 사용하는 이유

  • 여러 개의 정점을 이동, 회전, 크기 조정을 하는데 있어서 정점마다 이동, 회전, 크기를 따로 계산 하기 보다는 이동, 회전, 크기 조정을 하는 계산 식을 하나의 표현식으로 만들어서 이것을 정점마다 대입하는 것이 빠름

[ 3.2 3D Rotation Matrices ]

• 3 by 3 회전 Matrices

[ 3.3 Rotation Matrices for X and Y ]

[ 3.4 Unified Rotation Matrix ]

• 3개의 축을 적용한 회전 코드를 RotationTransformation.cs에 추가

public override Vector3 Apply (Vector3 point) { float radX = rotation.x * Mathf.Deg2Rad; float radY = rotation.y * Mathf.Deg2Rad; float radZ = rotation.z * Mathf.Deg2Rad; float sinX = Mathf.Sin(radX); float cosX = Mathf.Cos(radX); float sinY = Mathf.Sin(radY); float cosY = Mathf.Cos(radY); float sinZ = Mathf.Sin(radZ); float cosZ = Mathf.Cos(radZ); Vector3 xAxis = new Vector3( cosY * cosZ, cosX * sinZ + sinX * sinY * cosZ, sinX * sinZ - cosX * sinY * cosZ ); Vector3 yAxis = new Vector3( -cosY * sinZ, cosX * cosZ - sinX * sinY * sinZ, sinX * cosZ + cosX * sinY * sinZ ); Vector3 zAxis = new Vector3( sinY, -sinX * cosY, cosX * cosY ); return xAxis * point.x + yAxis * point.y + zAxis * point.z; }

[ 4. Matrix Transformations ]

[4.1 Homogeneous Coordinates ]

[ 4.2 Using Matrices ]

• Unity의 Matrix4x4구조체

  • 행렬의 곱셈을 수행 할 수 있음

• Transformation.cs

public abstract Matrix4x4 Matrix { get ; }

• • Transformation변환 행렬을 검색 하기 위해 추상 readonly 특성만 추가

  • Apply()는 더 이상 추상적 일 필요가 없음 (단지 행렬을 잡고 곱셈을 수행)

public Vector3 Apply (Vector3 point) { //Matrix.MultiplyPoint : 행렬에 point를 곱하고 있다. return Matrix.MultiplyPoint(point); }

• • • Matrix4x4.MultiplyPoint 3D 벡터 매개 변수가 있음 을 유의하십시오 . 누락 된 네 번째 좌표는 1로 가정

      • 또한 균질 좌표에서 유클리드 좌표로의 변환을 처리합니다. 점 대신 방향을 곱하기를 원할 경우 사용할 수 있습니다 Matrix4x4.MultiplyVector.

• PositionTransformation.cs

public override Matrix4x4 Matrix { get { Matrix4x4 matrix = new Matrix4x4(); // SetRow : 행렬을 줄 단위로 채우는데 편리한 함수 matrix.SetRow(0, new Vector4(1f, 0f, 0f, position.x)); matrix.SetRow(1, new Vector4(0f, 1f, 0f, position.y)); matrix.SetRow(2, new Vector4(0f, 0f, 1f, position.z)); matrix.SetRow(3, new Vector4(0f, 0f, 0f, 1f)); return matrix; } }

• ScaleTransformation.cs

public override Matrix4x4 Matrix { get { Matrix4x4 matrix = new Matrix4x4(); matrix.SetRow(0, new Vector4(scale.x, 0f, 0f, 0f)); matrix.SetRow(1, new Vector4(0f, scale.y, 0f, 0f)); matrix.SetRow(2, new Vector4(0f, 0f, scale.z, 0f)); matrix.SetRow(3, new Vector4(0f, 0f, 0f, 1f)); return matrix; } }

• RotationTransformation.cs

public override Matrix4x4 Matrix { get { float radX = rotation.x * Mathf.Deg2Rad; float radY = rotation.y * Mathf.Deg2Rad; float radZ = rotation.z * Mathf.Deg2Rad; float sinX = Mathf.Sin(radX); float cosX = Mathf.Cos(radX); float sinY = Mathf.Sin(radY); float cosY = Mathf.Cos(radY); float sinZ = Mathf.Sin(radZ); float cosZ = Mathf.Cos(radZ); Matrix4x4 matrix = new Matrix4x4(); matrix.SetColumn(0, new Vector4( cosY * cosZ, cosX * sinZ + sinX * sinY * cosZ, sinX * sinZ - cosX * sinY * cosZ, 0f )); matrix.SetColumn(1, new Vector4( -cosY * sinZ, cosX * cosZ - sinX * sinY * sinZ, sinX * cosZ + cosX * sinY * sinZ, 0f )); matrix.SetColumn(2, new Vector4( sinY, -sinX * cosY, cosX * cosY, 0f )); matrix.SetColumn(3, new Vector4(0f, 0f, 0f, 1f)); return matrix; } }

[ 4.3 Combining Matrices ]

• 변환 행렬(Position Transformation, Scale Transformation, Rotation Transformation)들을 하나의 행렬로 결합

• TransformationGrid.cs

Matrix4x4 transformation;

• Update()마다 변환 행렬을 수행

void Update () { UpdateTransformation(); for (int i = 0, z = 0; z < gridResolution; z++) { … } } void UpdateTransformation () { GetComponents<Transformation>(transformations); if (transformations.Count > 0) { transformation = transformations[0].Matrix; for (int i = 1; i < transformations.Count; i++) { transformation = transformations[i].Matrix * transformation; } } }

• • • 첫 번째 행렬을 잡아서 다른 행렬과 곱하는 과정이 포함

Vector3 TransformPoint (int x, int y, int z) { Vector3 coordinates = GetCoordinates(x, y, z); return transformation.MultiplyPoint(coordinates); }

• • 이제 더 이상 정점별로 변환들(Translation, Rotation, Scale)을 호출하지 않고 가지고 있는 변환 최종 행렬로만 수행

• 이 새로운 접근법은 모든 점마다 개별적으로 각 변환 행렬을 작성하고 개별적으로 적용하고 있기 때문에 더 효율적

[5. Projection Matrices : 투영 행렬]

• • 3D 상의 위치에서 2D 공간의 위치로 변환이 필요하며, 이를 위한 변환 행렬을 투영 행렭이라고 함

• 스크립트 생성 : CameraTransformation.cs

using UnityEngine; public class CameraTransformation : Transformation { public override Matrix4x4 Matrix { get { Matrix4x4 matrix = new Matrix4x4(); matrix.SetRow(0, new Vector4(1f, 0f, 0f, 0f)); matrix.SetRow(1, new Vector4(0f, 1f, 0f, 0f)); matrix.SetRow(2, new Vector4(0f, 0f, 1f, 0f)); matrix.SetRow(3, new Vector4(0f, 0f, 0f, 1f)); return matrix; } } }

• • • 우선은 단위 벡터로 시작하고 있음

• • 최종적으로 수행될 수 있도록 컴포넌트 마지막에 배치

[ 5.1 Orthographic Camera : 직교 카메라 ]

• 3D에서 2D로 이동하는 가장 직접적인 방법은 단순히 한 차원을 버리는 것

• CameraTransformation.cs

matrix.SetRow(0, new Vector4(1f, 0f, 0f, 0f)); matrix.SetRow(1, new Vector4(0f, 1f, 0f, 0f)); matrix.SetRow(2, new Vector4(0f, 0f, 0f, 0f)); matrix.SetRow(3, new Vector4(0f, 0f, 0f, 1f));

• • CameraTransformation.cs

matrix.SetRow(0, new Vector4(1f, 0f, 0f, 0f)); matrix.SetRow(1, new Vector4(0f, 1f, 0f, 0f)); matrix.SetRow(2, new Vector4(0f, 0f, 0f, 0f)); matrix.SetRow(3, new Vector4(0f, 0f, 1f, 0f));

• 원근 투영은 카메라의 위치 (원점)를 향해 움직이며, 임의의 평면(Z 평면)에 상을 맺음

• 원점과 투영 기준면 간의 거리도 투영에 영향을 줌

• 그것은 카메라의 초점 길이와 같은 역할을합니다. 더 크게 만들수록 시야가 좁아집니다. 지금 우리는 1의 초점 길이를 사용하고 있는데, 이는 90 °의 시야를 만들어냅니다. 우리는이를 구성 가능하게 만들 수 있습니다.

  • CameraTransformation.cs

public float focalLength = 1f ;

• 초점 거리가 길어짐에 따라 확대되고 있음을 의미하므로 최종 점의 크기가 효과적으로 커지므로 이를 지원

matrix.SetRow(0, new Vector4(focalLength, 0f, 0f, 0f)); matrix.SetRow(1, new Vector4(0f, focalLength, 0f, 0f)); matrix.SetRow(2, new Vector4(0f, 0f, 0f, 0f)); matrix.SetRow(3, new Vector4(0f, 0f, 1f, 0f));