0103 Mathematical Surfaces

[ 수학적인 평면 만들기 ]

• • URL : http://catlikecoding.com/unity/tutorials/basics/mathematical-surfaces/

• Support multiple function methods.

• Use a delegate and enumeration.

• Display 2D functions with a grid.

• Define surfaces in 3D space.

  • 전 단계에서 진행한 라인 그래프를 확장한 것으로 복잡한 수식을 이용하여 표현한 평면 그래프(라인 그래프의 집합) 를 만들자

[ 1 Switching Between Functions ]

• • 다양한 그래프를 표현할 수 있도록 각각의 그래프들을 함수로 만들 수 있도록 하자.

[ 1.1 Function Method ]

public class Graph02 : MonoBehaviour {

public Transform pointPrefab;

[ Range( 10, 100) ] public int resolution = 50;

Transform[] points;

void Awake() {

float step = 2f / resolution;

Vector3 scale = Vector3.one * step;

Vector3 position;

position.y = position.z = 0f;

points = new Transform[resolution];

for (int i = 0; i < resolution ; i++) {

Transform point = Instantiate (pointPrefab);

//point.localPosition = Vector3.right * ((i+0.5f) / 5 - 1f);

position.x = (i + 0.5f) * step - 1f;

//position.y = position.x * position.x * position.x;

point.localPosition = position;

point.localScale = scale;

point.SetParent (transform,false);

points [i] = point;

}

}

float SineFunction(float x, float t) {

return Mathf.Sin (Mathf.PI * (x + t));

}

void Update() {

float t = Time.time;

for (int i = 0; i < points.Length; i++) {

Transform point = points [i];

Vector3 position = point.localPosition;

//position.y = Mathf.Sin(Mathf.PI * (position.x + Time.time));

position.y = SineFunction(position.x, t);

point.localPosition = position;

}

}

}

• SineFunction(float x, float t)

  • x좌표 값에 따라 상응하는 y 좌표값을 얻어내는 부분을 함수로 구현

    • t (시간) 값에 따라 다른 y값을 얻을 수 있음

[ 1.2 A Second Function ]

// 1)

float MultiSineFunction1(float x, float t) {

float y = Mathf.Sin(Mathf.PI * (x + t)); // y 값이 (-1 ~ 1)의 범위를 가지게 된다.

y += Mathf.Sin(2f * Mathf.PI * (x + t)) / 2f; // y 값이 (-1.5 ~ 1.5)의 범위를 가지게 된다. sin(x) + sin(2x)/2

return y;

}

// 2)

float MultiSineFunction2(float x, float t) {

float y = Mathf.Sin(Mathf.PI * (x + t)); // y 값이 (-1 ~ 1)의 범위를 가지게 된다.

y += Mathf.Sin(2f * Mathf.PI *(x + 2f * t)) / 2f;

y *= 2f / 3f; // y 값이 다시 (-1 ~ 1)의 범위를 가지게 된다. 시간 간격을 2배로 하고 있어 급격하게 값이 변하게 하고 있음

return y;

}

void Update() {

float t = Time.time;

for (int i = 0; i < points.Length; i++) {

Transform point = points [i];

Vector3 position = point.localPosition;

//position.y = Mathf.Sin(Mathf.PI * (position.x + Time.time));

position.y = MultiSineFunction1(position.x, t);

point.localPosition = position;

}

}

• • • 참고 사이트 : 그래프 그려주는 사이트

[ 1.3 Selecing Functions in the Editor ]

• • Graph : Inspector 에서 실행 시간에 Function 선택이 가능해짐

[Range(0, 2)]

public int function;

void Update() {

float t = Time.time;

for (int i = 0; i < points.Length; i++) {

Transform point = points [i];

Vector3 position = point.localPosition;

//position.y = Mathf.Sin(Mathf.PI * (position.x + Time.time));

//position.y = TestFucion2(position.x, t); //

//position.y = MultiSineFunction2(position.x, t);

if (function == 0) {

position.y = SineFunction (position.x, t);

} else if (function == 1) {

position.y = MultiSineFunction1 (position.x, t);

} else {

position.y = MultiSineFunction2 (position.x, t);

}

point.localPosition = position;

}

}

[ 1.4 Static Methods ]

static float SineFunction(float x, float t) {

return Mathf.Sin (Mathf.PI * (x + t));

}

static float MultiSineFunction(float x, float t) {

float y = Mathf.Sin(Mathf.PI * (x + t));

y += Mathf.Sin(2f * Mathf.PI * (x + t)) / 2f;

//y += Mathf.Sin(2f * Mathf.PI *(x + 3f * t)) / 2f;

y *= 2f / 3f;

return y;

}

• static 멤버 변수, 메소드

  • • 클래스 이름공간의 영향을 받는 전역 객체 (클래스 이름공간으로 접근이 가능함)

    • 객체의 멤버 변수나 멤버 함수를 직접 참조/호출할 수 없음(즉, static 멤버 함수는 매개변수를 이용하여 처리하는 형태로 독립적인 처리가 가능해야 함)

[ 1.5 Delegates ]

• if-else 구문을 없애기 위해서 delegate를 사용 (C언어의 함수포인터)

  • • 참고 사이트 - delegate

• • Project Window : Create >> New Script

    • Name : GraphFunction

public delegate float GraphFunction(float x, float t);

• • Graph 스크립트

void Update() {

float t = Time.time;

GraphFunction f;

if (function == 0) {

f = SineFunction;

} else {

f = MultiSineFunction;

}

for (int i = 0; i < points.Length; i++) {

Transform point = points [i];

Vector3 position = point.localPosition;

//if (function == 0) {

// position.y = SineFunction (position.x, t);

//} else {

// position.y = MultiSineFunction (position.x, t);

//}

position.y = f(position.x, t);

point.localPosition = position;

}

}

[ 1.6 An Array of Delegates ]

• • static GraphFunction[] function ...

    • static 변수로 다른 클래스에서도 사용 가능

[ Range(0,1) ] public int function;

static GraphFunction[] functions = {

SineFunction, MultiSineFunction

};

void Update() {

float t = Time.time;

GraphFunction f = functions [function];

//if (function == 0) {

// f = SineFunction;

//}

//else {

// f = MultiSineFunction;

//}

for (int i = 0; i < points.Length; i++) {

Transform point = points [i];

Vector3 position = point.localPosition;

position.y = f(position.x, t);

point.localPosition = position;

}

}

[ 1.7 Enumerations ]

• Enumeration (열거 자료형)

  • 0, 1, 2 숫자 형태로 지칭하는 것보다는 문자열로 표현될 수 있도록 하는 자료형

  • 예제에서 0이면 SineFunction, 1이면 MultiSineFunction으로 표현하는 것 보다는 이름으로 지칭할 수 있도록 지정하는 것이 효율적

  • Project Window : Create >> C# Scipt

    • Name : GraphFunctionName

    • 기존의 GraphFunction.cs을 사용해도 무방

public enum GraphFunctionName {

Sine,

MultiSine

}

• • Graph 스크립트

// [ Range (0, 1) ] public int function;

public GraphFunctionName function;

static GraphFunction[] functions = {

SineFunction, MultiSineFunction

};

void Update() {

float t = Time.time;

GraphFunction f = functions [(int)function];

for (int i = 0; i < points.Length; i++) {

Transform point = points [i];

Vector3 position = point.localPosition;

position.y = f(position.x, t);

point.localPosition = position;

}

}

• • 실행 테스트

[ 2 Adding Another Dimension ]

• • 3 차원 공간 그래프 만들기

    • 지금까지 2차원적인 그래프를 그렸던 것을 3차원 공간 그래프로 만들기 위한 작업들을 우선적으로 수행하자.

  • Shader Code(ColoredPoint) 수정

    • o.Albedo.rgb = IN.worldPos.xyz * 0.5 + 0.5;

      • z 좌표 값을 포함한 공간적인 그래프를 만들기 위해서 우선 shader에서 z 좌표 값에 따른 색상을 조절 할 수 있도록 함

[ 2.1 Adjusting the Functions ]

• • public delegate float GraphFunction ( float x, float z, float t);

  • Graph02.cs 수정

static float SineFunction(float x, float z, float t) {

return Mathf.Sin (Mathf.PI * (x + t));

}

static float MultiSineFunction(float x, float z, float t) {

float y = Mathf.Sin(Mathf.PI * (x + t));

y += Mathf.Sin(2f * Mathf.PI * (x + t)) / 2f;

//y += Mathf.Sin(2f * Mathf.PI *(x + 3f * t)) / 2f;

y *= 2f / 3f;

return y;

}

void Update() {

float t = Time.time;

GraphFunction f = functions [(int)function];

for (int i = 0; i < points.Length; i++) {

Transform point = points [i];

Vector3 position = point.localPosition;

position.y = f(position.x, position.z, t);

point.localPosition = position;

}

}

[ 2.2 Creating a Grid of Points ]

• • 우선, 한개의 라인을 만들었던 것을 여러 개의 라인(Grid 처럼)으로 표현하기 위해서 z좌표값을 따라 생성

• • 정점의 개수를 resolution * resolution만큼 늘려서 표현하기

void Awake() {

float step = 2f / resolution;

Vector3 scale = Vector3.one * step;

Vector3 position;

position.y = position.z = 0f;

points = new Transform[resolution * resolution];

for (int i = 0; i < points.Length ; i++) {

Transform point = Instantiate (pointPrefab);

//point.localPosition = Vector3.right * ((i+0.5f) / 5 - 1f);

position.x = (i + 0.5f) * step - 1f;

//position.y = position.x * position.x * position.x;

point.localPosition = position;

point.localScale = scale;

point.SetParent (transform,false);

points [i] = point;

}

}

• • • 긴 라인이 생성

• • z 값에 변화를 줘서 평면 형태로 만들 수 있도록 하자.

void Awake() {

float step = 2f / resolution;

Vector3 scale = Vector3.one * step;

Vector3 position;

position.y = position.z = 0f;

points = new Transform[resolution * resolution];

for (int i = 0, x = 0, z = 0; i < points.Length; i++, x++) {

if (x == resolution) { // 사인 곡선의 한 싸이클이 돌면, z값을 1증가 시키고 있음

x = 0;

z += 1;

}

Transform point = Instantiate (pointPrefab);

//point.localPosition = Vector3.right * ((i+0.5f) / 5 - 1f);

position.x = (x + 0.5f) * step - 1f;

position.z = (z + 0.5f) * step - 1f;

//position.y = position.x * position.x * position.x;

point.localPosition = position;

point.localScale = scale;

point.SetParent (transform,false);

points [i] = point;

}

}

• • 실행 테스트

    • Directional Light

      • Transform : rotation ( 50, 30, 0)

      • Light : Shadow Type 해보기

        • Frame rate 확인

[ 2.3 Double Looping ]

//for (int i = 0, x = 0, z = 0; i < points.Length; i++, x++) {

// if (x == resolution) {

// x = 0;

// z += 1;

// }

for(int i = 0, z = 0; z < resolution; z++) {

position.z = (z + 0.5f) * step - 1f;

for (int x = 0; x < resolution; x++, i++) {

Transform point = Instantiate (pointPrefab);

//point.localPosition = Vector3.right * ((i+0.5f) / 5 - 1f);

position.x = (x + 0.5f) * step - 1f;

//position.z = (z + 0.5f) * step - 1f;

point.localPosition = position;

point.localScale = scale;

point.SetParent (transform, false);

points [i] = point;

}

}

• • 내부적으로는 x 좌표를 기준으로 루프를 만들어 y좌표값을 생성하고,외부적으로는 z좌표를 기준으로 이를 다시 감싸서 수행하고 있음

[ 2.4 Incorporating Z ]

• • y 값의 변화를 x 값에 의해서만 영향을 받게 했던 것을 z 값에 따라서도 영향을 받을 수 있도록 그래프를 만들어 보자.

  • 편의성을 위해서 pi 변수를 const로 만들어서 사용

const float pi = Mathf.PI;

static float SineFunction(float x, float z, float t) {

return Mathf.Sin (pi * (x + t));

}

static float MultiSineFunction(float x, float z, float t) {

float y = Mathf.Sin(pi * (x + t));

y += Mathf.Sin(2f * pi * (x + t)) / 2f;

y *= 2f / 3f;

return y;

}

• • 기존의 두 함수(SineFunction, MultiSineFunction) 이외에 다른 하나를 추가

static float Sine2DFunction (float x, float z, float t) {

return Mathf.Sin(pi * (x + z + t)); // 1) x값과 z값의 영향을 같이 받음

/* // 2)

float y = Mathf.Sin(pi * (x + t));

y += Mathf.Sin(pi * (z + t));

y *= 0.5f;

return y;

*/

}

static GraphFunction[] functions = {

SineFunction, Sine2DFunction, MultiSineFunction

};

public enum GraphFunctionName {

Sine, Sine2D, MultiSine

}

• • 1) 실행 테스트

• • • • x와 z를 더한 값 자체가 y값에 영향을 줌

• • 2) 실행 테스트

    • • x축과 z축에 따른 y값 (z = 0 일때 xy평면은 Sine 곡선을 그리고 있고, z=0 일때 zy평면도 Sine 곡선을 그리고 있음)

      • "/= 2f" "*= 0.5f" 를 사용하는 이유 : 곱하기보다 나누기의 연산속도가 현저하게 느림

  • 다른 함수(MultiSine2DFunction) 추가

• • • • Main Wave : 시간을 2로 나누고 있다. wave의 속도를 2배 감소 시킴

      • Second Wave : x축에 형성되는 Wave 파형

      • Third Wave : z축에 형성되는 wave의 속도를 2배로 올림

      • 최종 f(x,z,t)가 -1 ~ 1을 벗어나지 않도록 5.5(M 최대값 4, Second 최대값 1, Third / 2의 최대값 0.5)로 나눔

static float MultiSine2DFunction (float x, float z, float t) {

float y = 4f * Mathf.Sin(pi * (x + z + t * 0.5f));

y += Mathf.Sin(pi * (x + t));

y += Mathf.Sin(2f * pi * (z + 2f * t)) * 0.5f;

y *= 1f / 5.5f;

return y;

}

static GraphFunction[] functions = {

SineFunction, Sine2DFunction, MultiSineFunction, MultiSine2DFunction

};

public enum GraphFunctionName {

Sine, Sine2D, MultiSine, MultiSine2D

}

[ 2.5 Creating a Ripple(물결) ]

• • 구심점을 가지는 물결 패턴을 만들자.

• • • 위의 그림처럼 표현되기 위해서 필요한 공식 (xy평면의 곡선과 zy평면의 곡선 공식이 같음)

static float Ripple (float x, float z, float t) {

float d = Mathf.Sqrt(x * x + z * z);

//float y = d;

float y = Mathf.Sin(pi * d); // 1)

//float y = Mathf.Sin(4f * pi * d); // 2)

//float y = Mathf.Sin(4f * pi * d - t); // 4)

//y /= 1f + 10f * d; // 3)

return y;

}

• • 1) d값의 범위에 pi를 곱한 sine 의 최대값은 -1 ~ 1을 넘지 않음

  • 2) 4를 더 곱해주면 Wave 파형이 4번 정도가 더 그려짐

  • 3) 멀어질 수록 1/(10 *d)는 파도의 진폭을 줄임, 1/(1+10*d)에서 기본 값 1 더하는 이유는 원점에 가까운 지폭의 폭을 줄여줌

  • 4) 시간의 흐름에 따른 애니메이션을 표현 (물결이 퍼지는 표현을 위해 -t를 적용)

[ 3 Leaving the Grid ]

• 지금까지 x와 z를 사용해 y값을 추출해 주는 방식은 항상 XZ 평면에 국한적이다. ( 모든 XZ평면의 정점은 오직 한개만의 Y정점을 가지고 있다)

[ 3.1 Three-dimensional Function ]

• • • u, v : 기존의 x, z 값을 대체 (xz 평면의 값에 따른 y 값만을 생성하는 형태가 아니라 Vector3를 설정할 수 있도록 함)

    • 기존의 SineFunction을 표현한 형태

//public delegate float GraphFunction(float x, float y, float t);

public delegate Vector3 GraphFunction(float u, float v, float t);

• • • Vector3를 사용하기 위해서 using UnityEngine; 을 추가해 주어야 함

• • float형의 y 값을 얻어내던 함수를 x, y, z 값을 얻어 낼 수 있도록 Vector3 자료형으로 기좀 함수를 바꿈

//static float SineFunction(float x, float z, float t) {

static Vector3 SineFunction(float x, float z, float t) {

//return Mathf.Sin (pi * (x + t));

Vector3 p;

p.x = x;

p.y = Mathf.Sin (pi * (x + t));

p.z = z;

return p;

}

//static float MultiSineFunction(float x, float z, float t) {

static Vector3 MultiSineFunction(float x, float z, float t) {

Vector3 p;

p.x = x;

p.y = Mathf.Sin (pi * (x + t));

p.y += Mathf.Sin (2f * pi * (x + 2f * t)) / 2f;

p.y *= 2f / 3f;

p.z = z;

return p;

//float y = Mathf.Sin(pi * (x + t));

//y += Mathf.Sin(2f * pi * (x + t)) / 2f;

////y += Mathf.Sin(2f * Mathf.PI *(x + 3f * t)) / 2f;

//y *= 2f / 3f;

//return y;

}

//static float Sine2DFunction (float x, float z, float t) {

static Vector3 Sine2DFunction (float x, float z, float t) {

Vector3 p;

p.x = x;

p.y = Mathf.Sin (pi * (x + t));

p.y += Mathf.Sin (pi * (z + t));

p.y *= 0.5f;

p.z = z;

return p;

//return Mathf.Sin(pi * (x + z + t)); // 1)

// 2)

//float y = Mathf.Sin(pi * (x + t));

//y += Mathf.Sin(pi * (z + t));

//y *= 0.5f;

//return y;

}

//static float MultiSine2DFunction (float x, float z, float t) {

static Vector3 MultiSine2DFunction (float x, float z, float t) {

Vector3 p;

p.x = x;

p.y = 4f * Mathf.Sin (pi * (x + z + t / 2f));

p.y += Mathf.Sin (pi * (x + t));

p.y += Mathf.Sin (2f * pi * (z + 2f * t)) * 0.5f;

p.y *= 1f / 5.5f;

p.z = z;

return p;

//float y = 4f * Mathf.Sin(pi * (x + z + t * 0.5f));

//y += Mathf.Sin(pi * (x + t));

//y += Mathf.Sin(2f * pi * (z + 2f * t)) * 0.5f;

//y *= 1f / 5.5f;

//return y;

}

//static float Ripple (float x, float z, float t) {

static Vector3 Ripple (float x, float z, float t) {

Vector3 p;

float d = Mathf.Sqrt (x * x + z * z);

p.x = x;

p.y = Mathf.Sin (pi * (4f * d - t));

p.y /= 1f + 10f * d;

p.z = z;

return p;

//float d = Mathf.Sqrt(x * x + z * z);

////float y = d;

////float y = Mathf.Sin(pi * d); // 1)

////float y = Mathf.Sin(4f * pi * d); // 2)

//float y = Mathf.Sin(5f * pi * d - t); // 4)

//y /= 1f + 10f * d; // 3)

//return y;

}

• 그에 따른 Update, Awake 함수 조정

void Awake() {

float step = 2f / resolution;

Vector3 scale = Vector3.one * step;

Vector3 position;

position.y = position.z = 0f;

points = new Transform[resolution * resolution];

// for(int i = 0, z = 0; z < resolution; z++) {

// position.z = (z + 0.5f) * step - 1f;

// for (int x = 0; x < resolution; x++, i++) {

// Transform point = Instantiate (pointPrefab);

// //point.localPosition = Vector3.right * ((i+0.5f) / 5 - 1f);

// position.x = (x + 0.5f) * step - 1f;

// //position.z = (z + 0.5f) * step - 1f;

// //position.y = position.x * position.x * position.x;

// point.localPosition = position;

// point.localScale = scale;

// point.SetParent (transform, false);

// points [i] = point;

// }

// }

for (int i = 0; i < points.Length; i++) {

Transform point = Instantiate (pointPrefab);

point.localScale = scale;

point.SetParent (transform, false);

points [i] = point;

}

}

void Update() {

float t = Time.time;

GraphFunction f = functions [(int)function];

// for (int i = 0; i < points.Length; i++) {

// Transform point = points [i];

// Vector3 position = point.localPosition;

// position.y = f(position.x, position.z, t);

// point.localPosition = position;

// }

float step = 2f /resolution;

for (int i = 0, z = 0; z < resolution; z++) {

float v = (z + 0.5f) * step - 1f;

for (int x = 0; x < resolution; x++, i++) {

float u = (x + 0.5f) * step - 1f;

points [i].localPosition = f (u, v, t);

}

}

}

[ 3.2 Creating a Cylinder ]

• • 우선 xz 평면에 Circle을 만들어 보자

static Vector3 Cylinder (float u, float v, float t) {

Vector3 p;

p.x = Mathf.Sin (pi * u);

p.y = 0f;

//p.y = u;

p.z = Mathf.Cos (pi * u);

return p;

}

• • • GraphFunctionName 에 "Cylinder" , GraphFuncion[] funcstions에 "Cylinder" 추가해야 함

• • xz 평면에서,

• • p.y = u;

    • u의 변위에 따라 y값을 세팅하는 경우

• • Cylinder

static Vector3 Cylinder (float u, float v, float t) {

Vector3 p;

float r = 1f;

p.x = r * Mathf.Sin (pi * u);

p.y = v;

p.z = r * Mathf.Cos (pi * u);

return p;

}

• • 다양한 원주율에 따른 모형 변형

• • • float r = 1f + Mathf.Sin(2f * pi * v) * 0.2f;

    • v의 변위 값에 따라 r의 값을 정하게 되면, r값이 y축으로 sin 곡선을 그리게 됨

• • r의 값에 t 값을 적용

  • float r = 0.8f + Mathf.Sin(pi * (6f * u + 2f * v + t)) * 0.2f;

[ 3.3 Creating a Sphere ]

• float r = Mathf.Cos(pi * 0.5f * v);

  • • pi에 0.5f를 곱해서 원주기 반을 만듬

• p.y = Mathf.Sin(pi * 0.5f * v);

  • • u값에 따라 xz평면에 Circle을 만들었던 것 처럼, v값에 따라 xy 축에 Circle이 생성될 수 있도록 생성

static Vector3 Sphere (float u, float v, float t) {

Vector3 p;

float r = Mathf.Cos(pi * 0.5f * v) ;

p.x = r * Mathf.Sin (pi * u);

p.y = v;

//p.y = Mathf.Sin (pi * 0.5f * v);

p.z = r * Mathf.Cos (pi * u);

return p;

}

• • 정리하면,

• • • x, z 좌표는 S 배 크기만 큼의 Circle을 그림

    • y 좌표는 R 크기의 반원 크기를 가짐

• ㅇ

• float s = Mathf.Cos (pi * v) + 0.5f;

  • • 기존 Sphere를 만드는 코드에서 s 부분에 0.5f를 추가

static Vector3 Torus (float u, float v, float t) {

Vector3 p;

float s = Mathf.Cos (pi * 0.5f * v) + 0.5f;

p.x = s * Mathf.Sin (pi * u);

p.y = Mathf.Sin (pi * 0.5f * v);

p.z = s * Mathf.Cos (pi * u);

return p;

}

• • pi * 0.5 >> pi 로 변경

    • 반 원주에서 원주기를 가짐

static Vector3 Torus (float u, float v, float t) {

Vector3 p;

float s = Mathf.Cos (pi * v) + 0.5f;

p.x = s * Mathf.Sin (pi * u);

p.y = Mathf.Sin (pi * v);

p.z = s * Mathf.Cos (pi * u);

return p;

}

• • float r1 = 1f; float s = Mathf.Cos(pi * v) + r1;

• • S와 y좌표값과 대응되는 부분을 0.5 * pi에서 pi로 바꿔 줌

    • R1 > 1 일때 마다 중앙에 홀이 생김

static Vector3 Torus (float u, float v, float t) {

Vector3 p;

float r1 = 3f;

float s = Mathf.Cos (pi * v) + r1;

p.x = s * Mathf.Sin (pi * u);

p.y = Mathf.Sin (pi * v);

p.z = s * Mathf.Cos (pi * u);

return p;

}

• • A ring torus 와 그밖의 것

static Vector3 Torus (float u, float v, float t) {

Vector3 p;

float r1 = 1f;

float r2 = 0.5f;

float s = r2 * Mathf.Cos (pi * v) + r1;

p.x = s * Mathf.Sin (pi * u);

p.y = r2 * Mathf.Sin (pi * v);

p.z = s * Mathf.Cos (pi * u);

return p;

}

• • • r1 : 1보다 크면 torus의 중앙에 Hall이 생성

    • r2 : torus의 반지름

static Vector3 Torus (float u, float v, float t) {

Vector3 p;

float r1 = 0.65f + Mathf.Sin(pi * (6f * u + t)) * 0.1f;

float r2 = 0.2f + Mathf.Sin (pi * (4f * v + t)) * 0.05f;

float s = r2 * Mathf.Cos (pi * v) + r1;

p.x = s * Mathf.Sin (pi * u);

p.y = r2 * Mathf.Sin (pi * v);

p.z = s * Mathf.Cos (pi * u);

return p;

}

• • 6f : 6개의 반주기, 4f : 4개의 반주기