Solución
1)
Si llamamos z=sen x la ecuación 1) nos queda:
2)
Observemos que la cantidad de raíces de 1) en
no solamente depende del número de raíces de 2) sino también si estas pertenecen o no al intervalo (-1,1).
Así por ejemplo si z0 es raíz de 2) para hallar raíces de 1) debemos resolver 3) sen x=z0
Cuando z0 ϵ (-1,1) la ecuación 3) tiene dos raíces
; cuando z0 = 1 o’ z0 = -1 3) acepta una sola raíz en , estas son y si z0 no pertenece (-1,1) la ecuación 3) tiene solución vacía
Por lo tanto para discutir la cantidad de raíces de la ecuación 1) en
debemos discutir la cantidad de raíces de II) en (-1,1).
Denominamos:
teniendo en cuenta que: a=m-2
b=4-2m
c=2m+3
1)acepta dos raíces en (-1,1)
Como la ultima inecuación tiene solución vacía no existen valores de m para los cuales 2) tenga dos raíces en (-1,1).
2) acepta una sola raíz en (-1,1)
z=1 es raíz de 2)
Para m= -5
z= -1 es raíz de 2)
Para
Hasta ahora tenemos:
No existen valores de m para los cuales la ecuación 2) tenga dos raíces en (-1,1)
Para
la ecuación 2) acepta una sola raíz en (-1,1)
z=1 es raíz de 2) si y solo si m=-5
z =-1 es raíz de 2) si y solo si m= 3/5
Además si m=2 la ecuación 2) nos queda
que tiene solución vacía.
Entonces:
Si
la ecuación 2) no acepta raíces en (-1,1), entonces la solución es vacía.
Si m=-5 la ecuación 2) tiene una única raíz z=1 y por lo tanto 1) tiene una sola raíz en
que es
Si
la ecuación 2) acepta una única raíz en (-1,1) y por lo tanto 1) tiene dos raíces en el intervalo.
Si
entonces 1) acepta una sola raíz en que es
Si
