Se disponen 7 puntos en un círculo de radio 1 de tal forma que la distancia entre dos cualesquiera de ellos es mayor o igual a 1. Prueba que es necesario que el centro sea uno de esos puntos.
(Fuente: Olimpíada Británica, 1975))
¿Cuál es la mayor cantidad de ángulos agudos que puede tener un polígono de 12 lados?
(Fuente: The LAIMA series, Agnis Andzans, Benedikt Johannesson (Latvia))
Un cuadrado y un triángulo equilátero están inscriptos en una misma circunferencia determinando 7 arcos en ella. Demostrar que al menos uno de los arcos tiene amplitud menor a 15º
(Fuente: The LAIMA series, Agnis Andzans, Benedikt Johannesson (Latvia))
En una recta t hay seis segmentos sin puntos interiores en común. Cada segmento es base de un triángulo equilátero. Todos los triángulos equiláteros están en el mismo semiplano respecto a t. Se construyen 6 círculos cuyos centros son los vértices de los equiláteros que no pertenecen a t pero sus radios tienen la misma longitud que los lados de cada triángulo respectivamente.
Probar que en ningún caso es posible tener un punto del plano que sea interior simultáneamente a los 6 círculos.
(Fuente: The LAIMA series, Agnis Andzans, Benedikt Johannesson (Latvia))
Problemas Adicionales
Problema 5
Se tienen 200 puntos en una circunferencia de tal forma que los ángulos centrales que se forman con cada par de ellos tienen amplitud entera. Probar que al menos dos son diametralmente opuestos.
(fuente: http://www.cut-the-knot.org)
Problema 6
Se trazan 7 rectas en el plano, de manera que no hay dos que sean paralelas. Probar que hay dos que forman un ángulo menor que 26 grados.
Problema 7
Encontrar la menor cantidad de puntos para que sin importar cómo se los disponga en el plano, haya al menos tres de ellos tales que formen un ángulo no mayor a 18º.
Problema 8
Sea ABC un triángulo cuyo ángulo A ≥ 90º. Sea M uno cualquiera de los puntos interiores al triángulo tales que sus proyecciones ortogonales sobre los lados de ABC son los vértices de un triángulo rectángulo. Demostrar que, de 7 cualesquiera de esos puntos, hay 4 que son concíclicos.
(Fuente: http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero50/244DLM.pdf)