Secuencia 2  Palomar y Distancias

Problema 1

• Dado un triángulo equilátero de lado 1 cm. Probar que si seleccionan 5 puntos interiores del triángulo , existen al menos dos cuya distancia es menor a ½

Problema 2 

• Dados 5 puntos en un cuadrado de lado 2, hay por lo menos dos de ellos que están entre sí a una distancia menor o igual que 

Problema 3

• Dados 6 puntos en el interior de un círculo de radio 1, siempre hay dos de ellos que se encuentran a distancia menor a 1 entre sí

(fuente: http://www.cut-the-knot.org)

Problema 4

• En un círculo de radio 10 se colocan 122 puntos (en el interior o en la circunferencia). Prueba que sin importar como se dispongan siempre quedarán al menos dos que disten entre sí menos de 2 cm.

(Fuente: The LAIMA series, Agnis Andzans, Benedikt Johannesson (Latvia))

Problemas adicionales

Problema 5

• ¿Es posible cubrir completamente un triángulo equilátero con dos triángulos equiláteros más pequeños?

Problema 6

• Pruebe que en cualquier cuadrilátero convexo, al menos una de sus diagonales es más larga que la cuarta parte de su perímetro.

Problema 7

• Dados 25 puntos del plano tales que cada tres de ellos siempre hay al menos dos que distan entre sí menos de 1. Prueba que existe una circunferencia de radio 1 que contiene al menos 13 de los puntos.

(fuente: http://www.cut-the-knot.org)

Problema 8

• Probar que en cualquier conjunto de 51 puntos interiores a un cuadrado de lado 1 siempre hay al menos tres puntos que pueden ser cubiertos por un círculo de radio 1/7

(fuente: http://www.cut-the-knot.org)