Si se eligen 6 enteros entre 1 y 10. Demostrar que para cualquier forma de hacerlo siempre existen dos cuya suma es impar.
(fuente: http://www.cut-the-knot.org)
Probar que:
1. Dados dos números enteros, no múltiplos de dos, su suma y su diferencia es múltiplo de dos.
2. Dados tres números enteros ninguno múltiplo de tres, existen al menos dos de ellos cuya diferencia es múltiplo de tres.
Dados n números naturales ninguno múltiplo de n ¿cual es el mínimo número de enteros, que debo tomar para asegurar que al menos dos de ellos tiene su suma o su resta múltiplos de n?
Si consideramos una sucesión de diez números naturales demostrar que al menos 1 es múltiplo de 10 o existe una suma de términos consecutivos que es múltiplo de 10.
Problemas complementarios
Problema 5
Si entre los primeros 60 números naturales elegimos 31 números distintos cualesquiera, entonces habrá dos de ellos cuya diferencia es 5.
(fuente: Notas de Combinatoria, M.E.Becker, N. Pietrocola, C. Sánchez, 1996)
Problema 6
Una persona toma al menos una aspirina por día durante 30 días. Si en total toma 45 aspirinas, pruebe que en alguna sucesión de días consecutivos toma exactamente 14 aspirinas.
(fuente: http://www.cut-the-knot.org)
Problema 7
Un maestro de ajedrez que tiene 11 semanas para prepararse para un torneo decide jugar al menos un partido por día pero, para no agotarse, decide no jugar más de 12 partidos por semana. Muestre que existe una sucesión de días consecutivos durante los cuales el maestro ajedrecista ha jugado exactamente 21 partidos.
(fuente: http://www.cut-the-knot.org)
Problema 8
En un período de k días consecutivos, un total de 2014 bebés nacieron en cierta ciudad, naciendo al menos uno por día. Demuestra que, si 1014< k 2014, existe un período de días consecutivos donde nacieron exactamente 100 bebés.
(Tercera Instancia XXIX Olimpíada Nacional de Matemática – 2014)