Justificación

Relación entre el ángulo inscripto y el ángulo al centro

“Si el ángulo inscripto tienen medida a

su respectivo ángulo al centro tiene medida 2a”

Vamos a analizar el problema en tres casos según la posición de O respecto al ángulo inscrito.

Primer Caso:  Uno de los lados del ángulo inscripto contiene al centro de la circunferencia

Hipótesis  ÐAPB = a     ÐAPB  inscripto

Tésis  ÐAOB =   2a 

 En este caso particular es fácil observar que el triángulo POA es isósceles ya que PO=OA por ser radios de la circunferencia.

De la misma manera el triángulo AOB también es isósceles ya que AO=OB.

Si ÐAPB = a  entonces  ÐAPO = ÐOAP = a 

Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180º entonces:

ÐAPO + ÐOAP + ÐPOA = 180º  

   a      +     a      + ÐPOA = 180º

de donde se concluye que ÐPOA = 180º - 2a

 Ahora como ÐPOB es un ángulo llano (180º) 

ÐPOB = ÐPOA  + ÐAOB

180º   =   180º - 2a  + ÐAOB    y despejando se llega a que ÐAOB =   2a 

Como se quería probar.

Segundo Caso:  De acuerdo a lo visto en el primer caso podemos hacer lo mismo si se considera una semirrecta auxiliar que tenga origen en el punto P y contenga al punto O.

Llamamos C a la intersección de la semirrecta con la circunferencia.

Ahora se aplica el caso anterior a loa ángulos inscriptos ÐAPC y ÐBPC con sus respectivos ángulos al centro ÐAOC  y   ÐCOB.

Terminar la demostración como ejercicio.

Tercer caso:  Ejercicio