Embedded Files
Introducción
La búsqueda de raíces de polinomios tiene la siguiente particularidad: Luego de un primer impulso en la Grecia clásica en Babilonia y en lo que ahora es India (Euclides, Brahmagupta, Bhaskara) hubo una gran brecha temporal donde no se registraron progresos. Recién en el Renacimiento, con el florecimiento de un lenguaje matemático más algebraico se retoman los avances (Cardano, Tartaglia, Viete). Generalmente en los cursos actuales de introducción al álgebra en enseñanza media es frecuente que se trabaje con los métodos algebraicos de esta segunda etapa.
Los métodos gráficos de la antigüedad han sido olvidados.
El planteo de este trabajo es rescatar estos métodos gráficos por su valor histórico. Además dan una alternativa que puede ser de provecho para los estudiantes que se inician en álgebra dado que es clave poder mostrarles distintas representaciones para abordar un mismo problema.
Un Best- Seller
Si nos referimos al libro récord de todos los tiempos en cuanto a geometría se refiere, "Elementos de Euclides" vigente desde hace 2400 años podemos encontrarnos con que en la proposición 4 del Libro II dice:
"Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera
es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el
rectángulo comprendido por los segmentos."
Expresado en una notación más actual sería equivalente a
Fórmula que conocemos como "Cuadrado del binomio"
Relacionar el texto de la proposición puede no ser evidente para todos y eso debe tener que ver con que la notación algebraica de la fórmula se desarrolló muchos siglos después a la proposición de Euclides.
Pero podemos tender un puente entre el texto y la fórmula mediante la siguiente imagen.
Con este ejemplo queremos ilustrar el hecho de que muchas relaciones algebraicas han tenido inicialmente su origen en razonamientos de tipo geométrico.
Sin ir mucho más lejos podemos encontrar el LIBRO VI de los Elementos de Euclides proposiciones que muestran cómo resolver ciertas ecuaciones cuadráticas empleando métodos geométricos.
Observemos por ejemplo la siguiente figura:
De buenas a primeras la figura puede no significar nada o muchas cosas. ¿que tal si agregamos que la figura representa la factorización de un polinomio de segundo grado donde el cuadrado grande tiene lado x y los cuadraditos de la esquina inferior derecha tienen lado 1 ? ¿te animas a determinarlo? ¿y cuál es su descomposición factorial?
Es posible que las siguiente imágenes aclaren un poco el panorama:
Si eso no es suficiente puedes ver el video donde mostramos la factorización propuesta
Así es como factorizaban los griegos primero y los árabes después hasta hace unos mil años atrás.
Esta forma de trabajar con cuadráticas considerando los "cuadrados" como "áreas de cuadrados" y los productos de magnitudes de primer grado como "áreas de rectángulos" han caído en el olvido y han sido sustituidas por un lenguaje algebraico cargado de notación en pos de la formalización. Con el nuevo lenguaje del álgebra se obtienen muchos beneficios indiscutibles pero el costo es, a veces, una pérdida en la visualización e intuición. De todas formas, este tipo de visualizaciones forman parte del trabajo cotidiano de los matemáticos y de toda persona que quiera comprender y utilizar estas herramientas matemáticas.
¿A qué llamamos completar el cuadrado?
Por lo general con ese título nos referimos a un procedimiento algebraico alternativo a la fórmula de Bhaskara pero observemos un procedimiento geométrico que bien puede llevar el mismo nombre.
Para ver la deducción de la fórmula conocida como " de Bhaskara" pueden consultarse este recurso:
Método de Euclides
Para ecuaciones de la forma
con valores positivos de n y m, los griegos empleaban también el siguiente método
Se construye un segmento AB de longitud n
Sobre la recta perpendicular a AB por B se construye el segmento BD de longitud m,
Con centro en el punto medio C del segmento AB se construye una circunferencia que contiene a D
El punto de corte de la cfa. con semirrecta de origen A que contiene a B es E,
Hecha la construcción, la longitud del segmento BE corresponde a una de las raíces positivas de la ecuación en caso de que tenga.
En la siguiente presentación puedes ensayar la construcción cambiando los parámetros m y n
https://www.geogebra.org/m/vY2gS7Fw
Ejercicio: ensayar para qué valores de los parámetros m y n es posible obtener solución con este método.
Circunferencia de Carlyle
Otro método geométrico interesante es el ideado por Eduard Lill (1830-1900), Ingeniero Austríaco que en 1867 en la Exposition Universelle en París, presentó una máquina mecánica para determinar raíces de polinomios.
Thomas Carlyle (1795-1881) fue un historiador, escritor y poeta escocés que gustaba de la matemática y en sus ratos libres se entretenía con construcciones geométricas con regla y compás.
Carlyle empleó y difundió el método de Eduard Lill restringido a ecuaciones cuadráticas. Por ese motivo a la construcción que se debe realizar se la denomina "Circunferencia de Carlyle".
Descripción del método:
Si se quiere hallar las raíces de
primero la reescribimos de la forma
En el sistema cartesiano de coordenadas se toman los puntos A(0,1) y D(S,P).
La circunferencia de diámetro AD corta al eje de abscisas en puntos cuyas abscisas son las raíces del polinomio. (si es tangente, la raíz es doble y si no corta la ecuación no tiene raíces reales).
https://www.geogebra.org/m/fka5MrG2
Dos justificaciones de la construcción, una utilizando Geometría Analítica (Ecuación de la circunferencia) y otra aplicando Geometría Euclideana (Potencia, cuadriláteros cíclicos) quedan propuestas para realizar en las actividades al final de este trabajo.
Método de Lill
Ya comentamos en el apartado anterior que Lill ideó un método geométrico para construir con regla y compás soluciones de ecuaciones polinómicas. La circunferencia de Carlyle es una reducción del método para el caso de cuadráticas. Pero el sistema ideado por Lill puede trabajar incluso con ecuaciones cúbicas y mayores grados.
Descripción del método
Por ejemplo si se quieren hallar las raíces del polinomio
procedemos de la siguiente manera:
En el sistema cartesiano de coordenadas, partimos desde el origen y dibujamos un segmento de 4 unidades de longitud hacia la derecha porque el primer coeficiente es 4.
Luego continuamos la poligonal hacia arriba 3 unidades porque el segundo coeficiente es un 3.
Notemos que giramos 90º en sentido antihorario, si el coeficiente hubiera sido negativo el giro sería horario.
Después dibujamos un segmento de longitud 2 hacia la derecha porque el tercer coeficiente es un -2 y entonces el giro fue horario.
Finalmente dibujamos un segmento de 1 unidad de longitud hacia arriba porque el término independiente es -1.
La poligonal resultante es la azul en el dibujo y es una forma gráfica no habitual de representar un polinomio.
A continuación comenzamos a dibujar una nueva poligonal roja partiendo del origen pero abriendo un ángulo (alfa) con el primer segmento azul.
El primer segmento tiene por extremos el origen de coordenadas y un punto de la recta que contiene al segundo segmento azul.
Luego se gira 90º en sentido horario porque el segundo coeficiente es positivo.
Se continúa la poligonal hasta cortar la recta que contiene al tercer segmento.
Se gira 90º en sentido antihorario porque el tercer coeficiente es negativo.
Finalmente prolongamos la poligonal hasta cortar la recta que contiene al cuarto segmento azul.
Si ambas poligonales tienen el mismo punto final, el valor -tan(alfa) es raíz del polinomio!!!
En la siguiente figura animada tenemos graficadas ambas poligonales. Puedes "mover" el punto azul para tratar de conseguir que los extremos coincidan. También tenemos graficado el polinomio y un punto de coordenadas (-tan(alfa), P(-tan(alfa))) para observar cuando se obtienen las raíces.
En el caso del ejemplo tenemos tres raíces reales, búscalas.
https://www.geogebra.org/m/uMYC3cqy
Biografía de Eduard Lill
http://www.biographien.ac.at/oebl/oebl_L/Lill_Eduard_1830_1900.xml
Lecturas complementarias
Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill, Thomas C. Hull
(Resolviendo ecuaciones cúbicas con plieges)
http://mars.wne.edu/~thull/papers/amer.math.monthly.118.04.307-hull.pdf
Margharita P. Beloch fue la primera persona, en 1936, que mostó como con origamis (plegando papel) era posible resolver ecuaciones cúbicas e ideó un método tan poderoso como las construcciones con regla y compás para hacerlo. El artículo presenta la prueba haciendo uso del método geométrico de Eduard Lill para encontrar raíces de ecuaciones polinómicas.
Carlyle Circles and the Lemoine simplicity of polygon constructions, Duane W. DeTemple.
http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf
Artículo que muestra la aplicación del método de Lill y la reducción de Carlyle para la construcción de polígonos regulares. En particular se muestra el caso del pentágono regular, el polígono regular de 17 lados y el 65537-gono!!
Project Origami: Activities for Exploring Mathematics
http://www.crcpress.com/downloads/K16368/ProjectOrigami-Handouts.pdf
Libro de actividades que incluye la descripción del método de Lill para ejecutar con pliegues de papel.
Actividades
Proponemos las siguientes fichas de trabajo que pueden ser empleadas en cursos de enseñanza media para enriquecer los temas tratados.
La idea es que el uso de estos aspectos históricos en la enseñanza del álgebra puedan ser un aporte para que los estudiantes descubran el origen de algunos razonamientos que terminan conduciendo al conocimiento matemático actual.
Poder hacer ver que la construcción de herramientas y conceptos que se emplean en el estudio de la matemática son producto de la creación humana y que son el resultado del esfuerzo de muchas personas a lo largo de la historia.
Es además un aporte de aire fresco para el tratamiento de temas habitualmente de abordaje árido y que puede conducir a nuevas reflexiones.
Se propone realizar la circunferencia de Carlyle en distintos casos empleando el Geogebra con el objetivo de visualizar los valores de las raíces de ecuaciones cuadráticas.
En esta actividad se propone a los alumnos que experimenten la factorización de polinomios de segundo grado empleando los métodos gráficos griegos derivados de los "Elementos" de Euclides
Actividad guiada en la que el estudiante deduce la justificación analítica del método de Carlyle empleando la ecuación de la circunferencia. (MAT I 2ºBD cualquier orientación)
Actividad guiada en la que el estudiante deduce la justificación empleando conceptos de Potencia de un punto y triángulos congruentes.
(MAT II 2ºBD, científica)
Actividad propuesta para MAT II y MAT III de sexto año para explorar relación entre la circunferencia de Carlyle y la parábola correspondiente.
En esta actividad el estudiante emplea la ecuación de la circunferencia, intersección recta circunferencia, relaciones entre coeficientes y raíces con el objeto de deducir la justificación del método de Carlyle
Referencias
Who was Who in polynomial factorization, Joachim von zur Gathen,
Universitat Bonn
http://www.sigsam.org/issac/2006/abstract/gathen.pdf
A History of Mathematics, Florian Cajori, 1909.
http://www.gutenberg.org/ebooks/31061
HISTORY OF MODERN MATHEMATICS, DAVID EUGENE SMITH, 1906
http://www.gutenberg.org/dirs/etext05/hsmmt10p.pdf
First Course in the Theory of Equations, Leonard Eugene Dickson, 1922
http://www.gutenberg.org/files/29785
Mathematics and Its History, John Stillwell
Planteamiento y Solución de Problemas de Ecuaciones,
Usando Estrategias y Métodos Propuestos en el
Desarrollo Histórico de la Teoría de Ecuaciones, Luis Enrique Zambrano García, Universidad Nacional de Colombia, Tésis de Maestría
Geometric Construction of Roots of Quadratic Equation
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/QuadraticRoots.shtml
DU COMPAS AUX INTEGRAPHES : LES INSTRUMENTS DU CALCUL GRAPHIQUE,
Dominique TOURNES
http://www.univ-irem.fr/commissions/reperes/consulter/50tournes.pdf
Vorlesungen Uber Die Entwicklung Der Mathematik Im 19. Jahrhundert, Felix Klein
http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn=urn:nbn:de:bsz:16-heidok-149480
Machines for solving algebraic equations, J. S. Frame
http://www.ams.org/journals/mcom/1945-01-009/S0025-5718-1945-0011196-2/
NOTE ON LILL'S METHOD OF SOLUTION OF NUMERICAL EQUATIONS, B. MEULENBELD
http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00018797.pdf
M. E. Lill: Résolution Graphique des équations numériques de tous les degrées à une seule inconnue, et description d'un instrument inventé dans ce but, Nouvelles Annales de Mathematiques, Series 2, Vol. 6, 1867
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/NAM/NAM_1867_2_6_/NAM_1867_2_6__359_0/NAM_1867_2_6__359_0.pdf
CONSTRUCTIONS D’EQUATIONS ALGEBRIQUES
http://www.univ-irem.fr/reperes/articles/59_article_411.pdf
Le Calcul Simplifié Par Les Procédés Mécaniques Et Graphiques: Histoire Et Description Sommaire Des Instruments Et Machines À Calculer, Tables, Abaques Et Nomogrammes (1905) del francés Maurice D´Ocagne
https://archive.org/details/lecalculsimplif00ocaggoog
Animation for Lill's Method by Dan Kalman
http://dankalman.net/ume/lill/
Theory of equations" de H. W. Turnbull (1946)
https://archive.org/details/theoryofequation029153mbp
Project Origami: Activities for Exploring Mathematics
Page updated
Google Sites
Report abuse