Solución:
"Dados 6 puntos en el interior de un círculo de radio 1, siempre hay dos de ellos que se encuentran a distancia menor a 1 entre sí"
Si es necesario, rotamos los sectores alrededor del centro hasta que uno de los puntos (digamos, C) quede en uno de los radios. Notemos que como cada sector es una parte de in triángulo de Reuleaux de ancho 1, no hay puntos en un sector que disten entre sí más de 1.
Si en uno de los sectores a los que pertenece C tenemos otro punto de nuestro conjunto, distaría de C no más de 1. Entonces nos quedarían 4 sectores para poner 5 puntos. Por el criterio del palomar nos queda que en alguno de los sectores tendríamos 2 puntos y por lo tanto ellos distarían no más de 1 entre sí. El problema está resuelto.
Segunda Solución:
Podemos asumir que ninguno de los puntos es el centro O del círculo y que no hay dos puntos en un mismo radio, en esos casos se cumple la proposición. Los segmentos desde O a cada uno de los seis puntos dividen el ángulo completo (de 360º) en seis partes. Por el criterio del palomar al menos una es menor o igual a 60º. Sean A y B dos de los puntos tales que el ángulo AOB es menor o igual a 60º. AO y BO son parte de radios entonces tienen longitud menor a 1. Además, uno de esos segmentos es opuesto a un ángulo mayor o igual a 60º en el triángulo AOB. Por lo tanto la longitud de AB es menor o igual a uno de los segmentos AO o BO y ambos eran de longitud menor a 1.