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Se disponen 7 puntos en un círculo de radio 1 de tal forma que la distancia entre dos cualesquiera de ellos es mayor o igual a 1. Prueba que es necesario que el centro sea uno de esos puntos.
Solución:
Se construye un hexágono regular de lado 1 inscripto en la circunferencia. Distribuimos los 7 puntos en los 6 vértices del hexágono y en el centro de la circunferencia. Con esta distribución la distancia entre cada par de puntos es siempre 1 y cumple con el enunciado
Ahora vamos a probar que el centro tiene que ser uno de los 7 puntos
Lo demostramos por absurdo
Supongamos que el centro no es uno de los puntos. Nombremos los puntos P1 , P2 , ..., P7 en sentido horario respecto al centro de la circunferencia. Consideremos P8 el mismo punto que P1
La suma de los ángulos PiOPi+1 es 360º. Por lo tanto para algún i entre 0 y 7 el ángulo PiOPi+1<=(360/7)º<60º. Entonces en el triángulo PiOPi+1 alguno de los ángulos OPiPi+1 u OPi+1Pi es mayor a 60º (de lo contrario la suma no sería 180º). Pero esto significa que el lado opuesto sería mayor que PiPi+1. Por lo tanto PiPi+1<1 y se llega a una contradicción.
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