Una exposición matemática del argumento de Anselmo de Canterbury
Originalmente, Anselmo de Canterbury expresó su argumento empleando una expresión no muy precisa para definir a Dios:
el ser tal que otro mayor que él no puede pensarse
Una manera de precisar el sentido de "mayor" es acudir a la matemática moderna y reformular desde ella el argumento original de Anselmo.
Conjuntos, productos cartesianos y relaciones binarias
Sea S un conjunto cualquiera, se define el producto cartesiano de S (S × S) como el conjunto de todos los pares ordenados cuyos elementos son miembros de S:
S × S = { <a,b> | a pertenece a S y b pertenece a S }
Cualquier subconjunto de SxS constituye una relación binaria R sobre S.
Ejemplos
Sea S el conjunto de las cifras arábigas. S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
S × S = {<0,0>,...,<0,9>,<1,0>,...,<1,9>,...,<9,0>,...,<9,9>}
La relación binaria R "ser igual a" es un subconjunto de SxS, en concreto el formado por los pares:
R = {<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>,<9,9>}
Sea S = {oro, plata, bronce}
S × S = {<oro,oro>, <oro,plata>, <oro,bronce>, <plata,plata>, <plata,oro>, <plata,bronce>, <bronce,bronce>, <bronce,plata>, <bronce,oro>}
La relación binara R "más valioso que" es un subconjunto de SxS, en concreto el formado por los pares:
R = { <oro,plata>, <oro,bronce>, <plata,bronce> }
Ordenación total de un conjunto
De entre todas las posibles relaciones binarias definidas sobre el producto cartesiano de un conjunto dado, un tipo especial de relaciones son las relaciones de orden.
Es habitual emplear un símbolo especial para las relaciones de orden: ≤ (menor o igual) en lugar del símbolo genérico R. También es habitual emplear el símbolo < (menor que) para las relaciones de orden estricto.
Una relación binaria sobre un conjunto S se dice que es una relación de orden estricto y total sobre S cuando cumple las siguientes condiciones:
Para todo miembro a de S: no sucede a < a
Para cualesquiera dos miembros a y b de S: si a < b, entonces no sucede b < a
Para cualesquiera dos miembros a y b de S: o bien a < b o bien b < a
Para cualesquiera a, b, y c miembros de S: si a < b y b < c, entonces a < c
Como cualquier otra relación, una relación de orden ha de ser definida explícitamente seleccionando un conjunto de pares que cumpla estas cuatro condiciones. Dado un determinado conjunto, múltiples relaciones de orden son posibles.
Ejemplos
Dado el conjunto de los cinco dedos de la mano, una ordenación total y estricta de sus elementos es:
{ meñique < anular, meñique < corazón, meñique < índice, meñique < pulgar,anular < corazón, anular < índice, anular <pulgar,corazón < índice, corazón < pulgaríndice < pulgar }
Nótese que este conjunto de pares cumple las cuatro condiciones que definen una ordenación total.
Este mismo conjunto puede ordenarse de cualquier otra manera, como por ejemplo:
{ anular < corazón, anular < índice, anular < índice, meñique < pulgar,anular < corazón, anular < índice, anular <pulgar,orazón < índice, corazón < pulgaríndice < pulgar }
El conjunto {oro, plata, bronce} puede ordenarse del modo habitual, según el valor económico relativo de cada metal: bronce < plata < oro
Pero si en lugar de ordenarlos según su valor comercial lo hacemos según su dureza, entonces: oro < plata < bronce.
En general, un conjunto formado por n elementos puede ordenarse de n! maneras distintas.
Ejemplos de relaciones de orden total
El conjunto de los diez primeros números naturales { 0, 1, ..., 9 } está ordenado total y estrictamente mediante la relación "menor que". Pero otras ordenaciones son igualmente posibles, por ejemplo 0<2<4<6<8<1<3<7<9, es decir los pares son menores a los impares y entre cada uno de ambos subconjuntos, se aplica la relación de inferioridad habitual. Esta ordenación alternativa no sigue el significado habitual de "menor que", pero desde el punto de vista matemático, es una relación de orden tan bien definida como aquella otra.
El conjunto de las letras del alfabeto {a, b, ...,y, z} está ordenado total y estrictamente mediante la relación habitual de orden alfabético: z < y < ... < b < a. Otras ordenaciones son igualmente posibles, por ejemplo la ordenación inversa: a < b < ... < y < z.
El conjunto de los días de la semana está ordenado total y estrictamente mediante la relación habitual del calendario: lunes, martes, ... y domingo. Cualquier otra ordenación de los días de la semana es perfectamente posible.
Ejemplos de relaciones de orden parcial
No todo conjunto, finito o infinito, tiene que estar totalmente ordenado. Aunque hay relaciones de orden entre algunos de sus elementos, el conjunto no lo está por violarse alguna condición.
Por ejemplo, la transitividad es violada en el conjunto { piedra, papel, tijeras } si lo ordenamos según la relación de "poder" o "fuerza" empleada habitualmente al jugar:
pieda < papel < tijeras < piedra
Debido a esta circularidad, esta ordenación no es total sino parcial.
Supremo e ínfimo de un conjunto
Dado un conjunto S y una relación de orden estricto <, el elemento supremo de S se define como aquel elemento s de S tal que para cualquier otro elemento a de S cumple: a < s
Dado un conjunto S y una relación de orden estricto <, el elemento ínfimo de S se define como aquel elemento i de S tal que para cualquier otro elemento a de S cumple: i < a
Ejemplos de supremos e ínfimos
El conjunto de los números reales comprendidos en el intervalo [0,1] ordenado según la relación menor que tiene como supremo al número 1 y como ínfimo al número 0.
El conjunto de los días de la semana ordenado según su orden habitual en el calendario tiene como supremo al domingo y como ínfimo al lunes.
El conjunto de los números naturales {0,1,...} ordenado según la relación 'menor que' carece de elemento supremo y 0 es su ínfimo.
El conjunto de los números negativos {...,-2,-1} ordenado según la relación 'menor que' tiene como supremo a -1 y carece de ínfimo.
El conjunto de los elementos químicos tiene al hidrógeno (elemento más ligero) como ínfimo y al uranio (elemento estable más pesado) como supremo.
Unicidad del elemento supremo
Dado un conjunto S y una relación de orden total y estricto sobre él, si existe un elemento supremo s, entonces es único: para cualquier elemento a de S, si a es distinto de s, entonces a < s por definición de supremo.
Supongamos que existiese otro supremo s'. Por la condición (3) de toda relación de orden total y estricto, o bien s < s' o bien s' < s, lo que demuestra que el supremo, de existir, es único.
Existencia de elemento supremo
Como se ha visto en los ejemplos anteriores, un conjunto total y estrictamente ordenado puede carecer de elemento supremo. Sin embargo, es fácil demostrar que: todo conjunto finito total y estrictamente ordenado tiene un y sólo un elemento supremo.
En el caso de que el conjunto sea infinito, puede o no tener elemento supremo:
El conjunto de los números reales en el intervalo [0,1] es infinito y posee supremo.
El conjunto de los números naturales es infinito y carece de supremo.
El intervalo real (0,1) no posee ínfimo ni supremo.
Una reformulación del argumento anselmiano
Sea S el conjunto de todos los seres (pasados, presentes y futuros), supongamos a continuación que S está ordenado total y estrictamente por una (y sólo una) relación de orden <:
Para cualesquiera dos miembros s1 y s2 de S, definimos que s2 es mayor que s1 si y sólo si s1 < s2
Supongamos que existe una ordenación estricta y total de S y que dicha ordenación tiene un elemento supremo, que se identifica (por definición) con Dios
Vemos así que para demostrar la existencia de Dios, Anselmo presupone tres propiedades del conjunto de todos los seres (potenciales y actuales, pasados, presentes y futuros):
Que es posible ordenar total y estrictamente el conjunto de todos los seres.
Que esa ordenación es única, no habiendo varias ordenaciones (totales y estrictas) igualmente posibles.
Que dicha ordenación incluye un elemento supremo.
Sin embargo, Anselmo no demuestra ninguna de estas tres propiedades del conjunto S, de modo que su argumento está lejos de ser concluyente.