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Un collegamento sorprendente
Un collegamento sorprendente
Abbiamo trovato una generalizzazione della q.d.m. che mette d'accordo Bart e Lisa: se Bart vede la q.d.m. relativistica conservarsi, la stessa cosa vede Lisa.
Negli urti elastici, c'è un'altra quantità importantissima che si conserva: l'energia cinetica totale.
Vedremo che la conservazione dell'energia cinetica relativistica e quella della quantità di moto relativistica sono tra loro collegate, perché collegati sono lo spazio e il tempo.
Il collegamento fu evidenziato nel 1915 da Emmy Noether, che dimostrò che le leggi di conservazione in un sistema fisico (sia esso classico oppure relativistico) sono sempre legate a proprietà di simmetria.
In particolare, la simmetria per traslazione spaziale (spostare il luogo dove avviene l'esperimento), conduce alla conservazione della quantità di moto.
La simmetria per traslazione temporale (cambiare il momento in cui si fa l'esperimento), conduce alla conservazione dell'energia. I sistemi in cui si conserva l'energia sono quelli in cui posso fare un film dell'esperimento e proiettarlo all'indietro senza che lo spettatore se ne accorga.
Ma in relatività, spazio e tempo sono collegati, e questo collegamento coinvolge anche le proprietà di simmetria.
Un calcolo un po' formale
Un calcolo un po' formale
Giocando un po' con la quantità di moto, troveremo una quantità interessante che identificheremo con la generalizzazione dell'energia cinetica.
Partiamo dall'identità
m²c⁴ = γ²/γ² m²c⁴
= (c²-v²) γ²m²c² = γ²m²c⁴ - p²c²,
dove per brevità abbiamo scritto γ² invece di γ²(v) e dove abbiamo usato la definizione di p.
Trasportando, otteniamo
γ²m²c⁴ = m²c⁴ - p²c².
Chi è questa misteriosa quantità γ²m²c⁴? E che significato ha?
Le sue dimensioni fisiche sono quelle di un'energia al quadrato. Scriviamo quindi
E² = γ²m²c⁴ ,
da cui
E = γmc² = c√(p²+m²c²).
Questa quantità, è detta energia cinetica relativistica, e generalizza l'energia cinetica classica.
Infatti, con tecniche che vedremo l'anno prossimo, è facile mostrare che
E ≈ mc²+½mv²
cioè che E è (circa) uguale ad un termine costante mc² (detto energia a riposo) più l'energia cinetica classica ½mv².
Con un po' più di fatica, possiamo dimostrare questa approssimazione con i nostri strumenti:Chiamiamo (per semplicità di notazione) ε=v²/c². In meccanica classica, ε è molto piccolo, ma non così piccolo da essere trascurato. Invece trascureremo ε² che è ancora più piccolo.Moltiplichiamo entrambi i membri di E² = γ²m²c⁴ per (1+ε)/γ² = (1+ε)(1-ε), ottenendo(1-ε²)E² = m²c⁴ (1+ε)Completiamo il quadrato nella parentesi a secondo membro(1-ε²)E² = m²c⁴ (1+ε+ε²/4-ε²/4)trascuriamo i termini -ε² a primo membro e -ε²/4 a secondo membro, ottenendoE² ≈ m²c⁴ (1+½ε)²prendendo la radice e sostituendo ε=v²/c², si arriva all'approssimazione cercata.
Siamo quindi giustificati nel dire che E = γmc² è la nuova definizione di energia (cinetica), che va a sostituire la formula classica E = ½mv² della meccanica Newtoniana.
E = mc²
E = mc²
Se il corpo è a riposo, ossia se v=0, allora γ(v)=1 e l'energia è uguale all'energia a riposo mc².
E' la celeberrima formula che lega massa ed energia. L'energia si può realmente trasformare in massa e viceversa.
Ma l'espressione
E = γmc² = c√(p²+m²c²)
è molto più ricca e si applica ad ogni situazione, non solo agli oggetto a riposo.
Ad esempio, i fotoni (le "particelle di luce" ipotizzate da Plank ed utilizzate da Einstein per spiegare l'effetto fotoelettrico e vincere il Nobel) hanno massa nulla.
Dunque per i fotoni,
E = cp.
L'energia dei fotoni, invece di essere proporzionale a p² come per le particelle classiche, è proporzionale a p.
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