Nel capitolo precedente abbiamo costruito le trasformazioni di Lorentz delle coordinate, chiedendo che queste trasformassero rette in rette. In altre parole, abbiamo subito chiarito che le trasformazioni delle coordinate sono trasformazioni affini. Sincronizzando gli orologi, ci siamo ridotti a trasformazioni lineari.
Una delle proprietà fondamentali delle trasformazioni affini è quella di preservare il parallelismo. Questo perché se due rette r₁ e r₂ nel piano di Lisa si incontrano in un punto A, il corrispondente punto A' nel piano di Bart deve appartenere sia alla trasformata di r₁ che a quella di r₂ e dunque rette non parallele nel piano di Lisa diventano rette non parallele nel piano di Bart e viceversa.
Consideriamo dunque un moto rettilineo uniforme con velocità v che passa per l’origine O nel piano di Lisa. La sua equazione oraria sarà
s = v t
La sua rappresentazione cartesiana sarà quella di una retta che passa per l'origine O e per il punto A di coordinate (1;v).
Il punto A viene trasformato attraverso le trasformazioni (5) del capitolo precedente in un punto A' di coordinate
s'A' = γ(v – u )
t'A' = γ(1 – uv/c² )
E naturalmente O viene trasformato nell'origine O' del riferimento di Bart. Per ottenere il coefficiente angolare v' della retta che passa per O' e per A', facciamo il rapporto tra s'A' e t'A' ottenendo
v' = (v-u)/(1-uv/c² )