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Probabilmente il più noto dei paradossi cinematici della teoria della relatività è il paradosso dei gemelli. Fu introdotto originariamente per mostrare una (presunta) contraddizione interna della teoria della relatività: se, per effetto della dilatazione dei tempi, Lisa vede l'orologio di Bart girare più lentamente del proprio, vuol dire che, dal suo punto di vista, Bart invecchia più lentamente di lei. Ma dal punto di vista di Bart, vale l'esatto contrario: lui vede l'orologio di Lisa girare più lentamente del proprio, e dunque è Lisa ad invecchiare più lentamente.
Chi è dunque il più invecchiato, Bart o Lisa?
Posta in questi termini, la domanda non ha senso, perché tempo e spazio nella teoria della relatività non si possono scindere. Dobbiamo specificare dove sono Bart e Lisa, e solo a quel punto possiamo confrontare le età dei due.
La cosa migliore è farli incontrare nello stesso punto e decidere quindi vis à vis chi è invecchiato maggiormente. La versione classica del paradosso prevede quindi di invertire il moto di Bart fino a tornare sulla Terra.
Anche nel viaggio di ritorno Lisa vede Bart invecchiare più lentamente e Bart vede Lisa invecchiare più lentamente. Molti critici della teoria della relatività, Herbert Dingle in testa, sostenevano che fosse impossibile decidere chi è invecchiato maggiormente e dunque che la teoria di Einstein era autocontraddittoria.
Invece è chiaramente Lisa ad essere invecchiata maggiormente!
Il punto fondamentale è che i sistemi inerziali qui sono tre e non due: il sistema di Lisa, l'astronave d'andata e l'astronave di ritorno. Si può quindi intuire che il sistema non è simmetrico, come sosteneva Dingle, perché è Bart e non Lisa a passare dall'astronave che si muove a velocità u a quella che si muove a velocità -u.
Per fissare le idee, diciamo che al tempo t'=0, Bart decolla con la sua astronave e inizia a viaggiare con velocità u = 0.6 c verso una stella nelle vicinanze. Viaggia per t' = 10 anni, poi torna a casa a velocità -u.
Il punto di vista di Lisa: siccome vede l'orologio di Bart girare più lento di un fattore 1/γ = 4/5, per lei il viaggio di andata di Bart dura 10γ anni, cioè 12.5 anni. La legge oraria è sB = u t per t compreso tra 0 e 10γ. Nel momento dell'inversione, Bart si trova a 10γu, cioè 7.5 anni-luce dalla Terra. Le coordinate spazio-temporali dell'evento “inversione del moto di Bart” sono dunque (10γ;10γu). A quel punto Bart comincia a tornare, la legge oraria sarà quella di una retta con pendenza -u che passa per I=(10γ;10γu), cioè
sB = u(20γ-t)
Per Lisa, il giorno del ritorno di Bart (quando sB = 0) saranno passati 20γ = 25 anni.
Il punto di vista di Bart: La legge oraria con cui Lisa si allontana è inizialmente
sL' = - u t'
Quando sono passati 10 anni, Lisa è ormai a distanza 10u = 6 anni-luce (ben minore di quella misurata da Lisa). L'evento “inversione di Bart” ha coordinate I'=(10,-10u). Appena prima di lasciare l'astronave, Bart guarda l'orologio di Lisa e vede che per lei sono passati appena 10/γ = 8 anni.
Subito prima del trasbordo, Bart vede l'orologio di Lisa segnare 8 anni. Come visto nel paragrafo sulla simultaneità, tutti gli eventi del piano di Lisa (in verde) che giacciono su una retta di coefficiente angolare 1/u appaiono a Bart come simultanei. In particolare, Bart vede come simultanei tutti gli eventi del segmento in rosso.
A questo punto Bart cambia sistema di riferimento e salta sull'astronave di ritorno, portandosi dietro il proprio orologio.
Ma appena messo piede sulla nuova astronave, Bart guarda l'orologio di Lisa e si accorge che nel trasbordo qualcosa è cambiato: visto dal nuovo riferimento l'orologio di Lisa segna 17 anni. È come se in un attimo Lisa fosse invecchiata di 9 anni.
Subito dopo il trasbordo, Bart vede l'orologio di Lisa segnare 17 anni, perché la sua velocità è cambiata da u a -u. Adesso sono gli eventi che giacciono sulle rette di coefficiente angolare 1/(-u) ad apparire simultanei a Bart, in particolare il segmento in rosso.
Il moto di Lisa nel nuovo sistema di riferimento sarà quello di un corpo che al tempo t'=10 è a distanza -10u = -6 e prosegue a velocità u:
sL' = -10u + u(t'-10) = u(t'-20)
Lisa arriverà da Bart quando t'=20.
Dunque per Bart Lisa invecchia 8 anni durante il viaggio d'andata, 9 durante il trasbordo e altri 8 durante il viaggio di ritorno.
In conclusione, secondo tutti e due i punti di vista, Lisa è invecchiata 25 anni e Bart solo 20.
Nota: negli ultimi anni è stato possibile realizzare più di un esperimento per verificare le quanto sopra. Tra le conferme sperimentali ricordiamo* la vita media dei muoni* orologi di precisione
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