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Abbiamo osservato che le trasformazioni lineari devono preservare il parallelismo tra le rette.
Questa caratteristica ci permette di interpretare le trasformazioni lineari come un cambiamento di base tra vettori:
Nel nostro caso delle trasformazioni di Lorentz, prendiamo in esame la situazione vista da Bart.
Supponiamo che Lisa osservi un evento E, in un dato istante t e in un dato posto x; indichiamo E con la coppia di coordinate (t,x).
Bart vedrà l'evento avvenire al tempo t' in un dato punto x'; nello spazio-tempo di Bart, indichiamo l'evento con il simbolo E' = (t',x').
Supponiamo che Bart osservi l'evento E'=(tE',xE') che avviene quando il suo orologio segna il tempo tE' nella posizione xE'.
Se Bart vuole sapere che tempo segna l'orologio fissato al polso di Lisa quando lei osserva lo stesso evento, non deve far altro che trovare, tra tutti gli eventi che secondo Lisa sono contemporanei ad E, quello che avviene nella posizione in cui è l'orologio di Lisa e a quel punto leggere l'ora indicata sul quadrante.
Per stabilire quali siano gli eventi contemporanei ad E secondo Lisa, Bart si ricorda che le trasformazioni di Lorentz, essendo trasformazioni lineari, mantengono il parallelismo tra le rette.
Siccome gli eventi che per Lisa sono contemporanei ad E=(tE ,xE ) giacciono tutti sulla retta di equazione t = tE , che è parallela all'asse delle ordinate e dunque al versore spaziale j=(0;1), Bart non deve fare altro che trovare la retta parallela al vettore j' =(, trasformato di j.
In altre parole, se Bart scompone il vettore E' lungo le componenti dei vettori j' ed i', trasformati dei versori spazio e tempo secondo Lisa, può identificare nella componente lungo i' il tempo misurato da Lisa.
Analogamente, la componente lungo j' sarà la posizione dell'evento secondo Lisa.
Le trasformazioni di Lorentz non sono altro che un cambiamento di base.
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