Dal punto di vista algebrico, le trasformazioni devono essere di primo grado.
I parametri α, β, γ e δ nel sistema (1)
s' = α t + β s
t' = γ t + δ s (1)
dipendono dalla velocità relativa u tra i due sistemi di riferimento.
Per determinare questi 4 parametri, ci servono 4 equazioni. Esaminiamo 4 diverse situazioni:
(1) Maggie è un fotone. La prima equazione è data dal postulato di invarianza della velocità della luce: il moto di un fotone emesso al tempo t=0 nell'origine nel sistema di riferimento di Lisa è descritto dall'equazione s = c t. Osservato nel sistema di riferimento di Bart, sarà descritto da s' = c t', perché al tempo t'=0 si trova nell'origine s'=0 e poi prosegue con velocità c. Introducendo queste due equazioni nel sistema (1), otteniamo
α + βc = γc + δc² (2)
In termini geometrici, nel piano t-s, dove s è misurato in secondi-luce, la bisettrice del primo e terzo quadrante s = t deve trasformarsi nella bisettrice del primo e terzo quadrante s' = t' del piano t'-s'. I rombi con diagonale sulla bisettrice si trasformano in rombi con diagonale sulla bisettrice.
(2) Maggie è in braccio a Bart. Una seconda equazione può essere ottenuta osservando il caso in cui Maggie è in braccio a Bart, cioè un punto fermo nell'origine del sistema di riferimento di Bart. Per Lisa, Maggie si muoverà insieme a Bart, cioè all'origine del riferimento s', lungo la retta s = u t. Nel sistema di Bart, Maggie è ferma e dunque s' = 0. Sostituendo in (1),
α = - β u (3)
Geometricamente, le rette con coefficiente angolare u devono essere trasformate in rette orizzontali.
(3) Maggie è in braccio a Lisa. Simmetricamente, possiamo guardare il caso di Maggie in braccio a Lisa, cioè un punto fermo nell'origine del sistema di riferimento di Lisa, descritto dall'equazione s = 0 visto da Bart. Se Lisa vede Bart allontanarsi con velocità u nella direzione delle s positive, anche Bart vede Lisa allontanarsi con velocità u, ma nella direzione delle s' negative. Dunque il moto di Lisa nel sistema di Bart sarà descritto dall'equazione s' = - u t'. Sostituendo in (1),
α = - γ u (4)
Geometricamente, le rette orizzontali devono essere trasformate in rette con coefficiente angolare -u.
Confrontando le equazioni (3) e (4), si scopre che β = γ e sostituendo in (2), si ottiene δ = -γ u/c². Mettendo tutto insieme,
s' = γ(s – u t)
t' = γ(t – u/c² s) (5)
Rimane da introdurre la quarta equazione per scoprire come γ dipenda da u. Siccome la direzione delle s crescenti è del tutto arbitraria, γ non può dipendere dal segno di u, ma solo dal suo valore assoluto.
(4) Bart e Lisa si scambiano di posto (relatività cinematica). Se scambiassimo il posto di Bart con quello di Lisa, l'unica cosa che cambierebbe sarebbe la direzione del moto, ossia il segno di u. Invece γ, che rappresenterà lo "schiacciamento" dovuto alla velocità, deve rimanere lo stesso perché lo spazio non ha una direzione preferita.
Dunque le trasformazioni inverse, quelle per passare dal sistema di Bart a quello di Lisa, sono
s = γ(s' + u t')
t = γ(t' + u/c² s') (6)
con lo stesso valore di γ che appare nel sistema (5).
Mettendo insieme il sistema (5) e il sistema (6), si ottiene
s = γ²(s – u t) + u γ²(t – u/c² s)
t = γ²(t – u/c² s) + u/c² γ²(s – u t) (7)
e dunque, semplificando,
s (1 – γ² + u²/c² γ²) = 0
t (1 – γ² + u²/c² γ²) = 0 (8)
Siccome t ed s sono arbitrari, devono essere i termini tra parentesi ad annullarsi. Dunque, risolvendo in γ² ed estraendo la radice quadrata,
γ = 1/√(1-u²/c²). (9)
Le trasformazioni per passare da un sistema ad un altro in moto rispetto al primo con velocità di trascinamento u sono dunque
s' = (s - u t)/√(1-u²/c²).
t' = (t - u/c² s)/√(1-u²/c²). (10)
Quando Einstein nel 1905 arrivò a queste equazioni, capì immediatamente di aver colto nel segno, perché erano già state scoperte in tutt'altro ambito. Erano state introdotte da Larmor e poi studiate da Lorentz in relazione alla propagazione delle onde elettromagnetiche. Lavorando sulle equazioni di Maxwell, Lorentz si era trovato ad introdurre le quantità t' ed s' del sistema (10).
Quello che Lorentz non aveva fatto era interpretare queste equazioni come trasformazioni di coordinate spazio-temporali. L'altro grande protagonista della nascita della relatività, il francese Poincaré aveva spinto nella direzione di rendere le equazioni dell'elettromagnetismo relativisticamente invarianti, ma senza arrivare al geniale approccio cinematico di Einstein: concepire che un osservatore in movimento possa percepire tempi diversi e misurare lunghezze diverse rispetto ad uno fisso.
Einstein riconobbe la primogenitura di Lorentz sulle equazioni (10), chiamandole trasformazioni di Lorentz.