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Consideriamo una trasformazione dal piano t-s (il piano di Lisa) al piano t'-s' (il piano di Bart).
Dal punto di vista geometrico, le trasformazioni lineari devono preservare il parallelismo, e dunque trasformare parallelogrammi in parallelogrammi. Infatti, se due rette non sono parallele e si incontrano in un punto P, anche le loro trasformate non sono parallele, perché devono incontrarsi in un punto P' che è il trasformato di P.
Per rappresentare le trasformazioni dei sistemi di riferimento, evidenziando il ruolo della velocità della luce, conviene utilizzare come unità di misura delle lunghezze non il metro ma il secondo-luce, ossia la distanza percorsa da un fotone (la “particella di luce”), che corrisponde a 299 792 458 m. Geometricamente, con questa scelta, un fotone emesso al tempo t=0 nella direzione delle s positive descrive la bisettrice del primo quadrante nel piano t-s. Il postulato di invarianza della velocità della luce dice che anche nel nuovo sistema di riferimento il fotone descrive la bisettrice del primo quadrante.
La velocità della luce misurata in secondi-luce (ls) al secondo è c = 1 ls/s, perché per definizione la luce percorre esattamente un secondo luce in un secondo.
Dal punto di vista algebrico, trasformare rette in rette vuol dire che equazioni di primo grado (s = sₒ + v t) si trasformano in equazioni di primo grado (s' = sₒ' + v' t'). È facile dimostrare che l'unica possibilità è che l'equazione che esprime s' in funzione di s e t, così come quella che esprime t' in funzione di s e t, sia (al massimo) di primo grado. “Sincronizzando gli orologi”, possiamo limitarci al caso in cui le origini dei due sistemi coincidono (trasformazioni lineari),
s' = α t + β s
t' = γ t + δ s (1)
con opportuni parametri α, β, γ e δ che andiamo a determinare.
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