Tangente ad una parabola

Ricordiamo che data una parabola di equazione y = α x² + β x + γ e dato un punto P(x_P;y_P) che giace sulla parabola (in linguaggio algebrico, y_P = α x_P² + β x_P + γ), l'equazione della retta tangente alla parabola nel punto P è

y = y_P + (2 α x_P + β)(x – x_P).

Infatti, possiamo cercare le intersezioni tra la parabola e la retta mettendo a sistema le due equazioni. Otteniamo

α x² + β x + γ = α x_P² + β x_P + γ + (2 α x_P + β)(x – x_P),

semplificando,

α x² = α x_P² + 2 α x_P x – 2 α x_P² .

Dunque, dividendo per α e portando tutto a primo membro,

(x - x_P)² = 0.

vediamo che x = x_P è l'unica soluzione del sistema e che è doppia. Dunque la retta e la parabola sono tangenti.

Il coefficiente angolare nel punto di ascissa x_P è dunque m(x_P) = 2 α x_P + b.

Passando dal piano x-y al piano t-s e chiamando u il coefficiente angolare, che assume il significato di velocità, otteniamo

u(τ) = 2α τ + uₒ

In questo contesto uₒ ha quindi il significato di velocità iniziale e 2α quello di accelerazione.

Segue